男女比例问题

1.问题

在一个重男轻女的国家里，每个家庭都想生男孩，如果他们生的孩子是女孩，就再生一个，直到生下的是男孩为止。

这样的国家，男女比例会是多少？

2.分析

这是一道经典的概率问题，经常出现在各大公司（Google，Tencent，Alibaba 等）的面试环节。

答案是 1:1。

概率推算

假设这个国家有n对夫妇，一年只准生一次孩子。

第一年，一半生男一半生女。

第二年，上年生了女的家庭再生一次，一半生男，一半生女。

第三年，上年生了女的家庭再生一次，一半生男，一半生女。

第四年，上年生了女的家庭再生一次，一半生男，一半生女

…

不管哪一年都是 1:1。

用公式表示为：

男孩数量 X= n

女孩数量 Y= n/2 + n/4 + n/8 + … + 1 = n

所以男女比例为 1 : 1。

几何分布

每一次生孩子都是一次伯努利试验，要么是男孩，要么是女孩。

每个家庭生孩子直到生到男孩为止为 n 重伯努利试验，成功生到男孩所需次数 X 服从几何分布。

分布列（离散型随机变量取某个特定值的概率）为：

其中生男孩的概率为 1/2。

因为几何分布的期望是 E[X] = 1/p，所以成功生到男孩所需次数的期望是 2。

其中最后一个是男孩，所以另一个是女孩，所以男女比例为 1:1。

3.理论与现实

按照生男生女相同概率来推算，男女比例应该是 1:1，但为什么现实果真如此吗？

我国 2020 年展开的第七次全国人口普查公报显示，以女性为100，男性对女性的比例为105.07，中国男性比女性多 3490 万人。

为什么男性数量会比女性多呢？

背后的原因想必大家应该都清楚，中国有“养儿防老”和“传宗接代”的传统观念。有些家庭会通过各种途径，提前了解胎儿性别，如果是女孩则终止妊娠。还有些家庭，对于生出的女婴，弃儿不养，也会导致女性少于男性。

仔细想想，这是一件多么恐怖的事情啊。

参考文献

Bernoulli trial - wikipedia Geometric distribution - wikipedia 第七次全国人口普查公报 - 中国政府网