平面几何：求向量 a 到向量 b扫过的夹角

前端西瓜哥

发布于 2024-03-22 13:06:30

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发布于 2024-03-22 13:06:30

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大家好，我是前端西瓜哥。

今天我们来学习如何求向量 a 到向量 b扫过的弧度，或者也可以说是角度，转换一下就好了。

求两向量的夹角

求两向量的夹角很简单，用点积公式。

变换一下：

代码实现：

const getAngle = (a, b) => {
  // 点积
  const dot = a.x * b.x + a.y * b.y;
  const d = Math.sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y) * Math.sqrt(b.x * b.x + b.y * b.y);
  const cosTheta = dot / d;
  return Math.acos(cosTheta);
};

需要注意的是，这个夹角是没有方向的，为大于等于 0 小于 180 度，我们不知道其中一个向量在另一个向量的哪一次。

边缘场景

上面的代码有两个 corner case 需要处理。

（1）有至少一个向量为零向量

零向量没有方向，和其他向量没法构成夹角。参与运算时也会导致除数为零，最后会返回 NaN。

这个怎么处理？自行决定。

比如可以返回角度 0；或者返回 NaN；或者直接报错，要求使用者在使用该方法前先自己判断是否为零向量，否则不能传进来。

const d = Math.sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y) * Math.sqrt(b.x * b.x + b.y * b.y);
if (d === 0) {
  return null
}

（2）余弦值误差

然后一个比较难发现的，就是浮点数误差，导致角度余弦值 cosTheta 略微超出 [-1, 1] 的范围，比如 1.00000001，这个用 Math.acos 进行反余弦运算，得到的是。。。NaN。

为什么我会知道？

因为我写一个复杂算法的时候，发现在某个极限场景下拿到了 NaN，一步步 debugger 发现是这个误差问题，真的没想到还有这个坑。

修正回 [-1, 1] 范围即可：

// 修正精度问题导致的 cosTheta 超出 [-1, 1] 的范围
// 导致 Math.acos(cosTheta) 的结果为 NaN
if (cosTheta > 1) {
  cosTheta = 1;
} else if (cosTheta < -1) {
  cosTheta = -1;
}

向量 a 到向量 b 扫过的夹角

但很多的情况下，角度是有方向的：逆时针或顺时针。

我们往往想知道的是 向量 A 沿着特定方向旋转，要旋转多少角度才能到达向量 B 的位置。

我们要求的角度在 -180 到 180 范围，负数表示沿反方向旋转多少多少度。（也可以不用负数，只能沿正方向扫过去，用 0 到 360 表示）

为了判断方向，我们需要使用叉积。叉积在图形学中经常用来判断左右或内外。

三维中两个向量 a、b 的叉积运算，会使用 a x b 表示，其结果也是一个向量 c。向量 c 会同时垂直于向量 a、b，或者可以理解为垂直于它们形成的平面）。

叉积运算出来的结果向量的方向，在右手坐标系（二维坐标中，我们习惯的 x 向右，y 向上，z 朝脸上）中，满足 右手定则，见下图：

这个二维向量也能用，叉积是一个标量，即一个数字，对应三维空间中，第三个维度 z 的值。

对于叉积 a x b，如果结果为正值，则 b 在 a 的左边；如果结果为负值，则 b 在 a 的左边；如果结果为 0，表示他们向量相同，属于 corner case，左右随便选一个。

但是 Canvas、SVG 这些，都是左手坐标系（x 轴向右，y 轴向下，z 朝脸上），在用它们时用的是左手定则，a x b 和前面说的刚好反过来。

注意叉积不满足交换律，交换后就反向了，

回到算法。

这里假设角度的正方向为顺时针方向，则如果 a x b 为正值，则 b 在 a 的右边，不需要修正；如果 b 在 a 的左边，就要取负值，进行修正：

// 通过叉积判断方向，如果 b 在 a 的左边，则取负值
if (a.x * b.y - a.y * b.x < 0) {
  theta = -theta;
}

完整代码

/**
 * 求向量 a 到向量 b 扫过的夹角
 * 这里假设顺时针方向为正
 */
const getSweepAngle = (a, b) => {
  // 点乘求夹角
  const dot = a.x * b.x + a.y * b.y;
  const d = Math.sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y) * Math.sqrt(b.x * b.x + b.y * b.y);
  // 零向量特殊处理
  if (d === 0) {
    return undefined;
  }
  let cosTheta = dot / d;
  // 修正精度问题导致的 cosTheta 超出 [-1, 1] 的范围
  // 导致 Math.acos(cosTheta) 的结果为 NaN
  if (cosTheta > 1) {
    cosTheta = 1;
  } else if (cosTheta < -1) {
    cosTheta = -1;
  }

  let theta = Math.acos(cosTheta);
  // 叉积判断方向，如果 b 在 a 的左边，取反
  if (a.x * b.y - a.y * b.x < 0) {
    theta = -theta;
  }

  return theta;
};