力学概念 | 从简单到复杂(2)

从静定到超静定，从低次超静定到高次超静定，也就是从已知到未知的分析，是解决复杂问题的有效途径。

图1所示刚架结构各杆长度相同且，，均为常数。若该结构内部空间温度均匀升高℃，外部空间温度没有变化，试定性地作出图示刚架结构的弯矩图和变形图。

▲图1

刚架是对称的，且温度变化也是对称的。将对称轴两边的支座去掉，形成一个对称静定结构，该结构在温度变化的变形如图2所示。

▲图2

结构杆件上截取任一微段(图3),设微段上侧表面温度升高,下侧表面温度升高.假设温度沿杆件截面高度按直线规律变化。此时,微段的变形如图3虚线所示,截面在变形之后仍将保持为平面。可见,由温度变化引起的杆件变形可以分解为沿杆件轴线方向的伸缩和截面绕中性轴的转动两部分,此时杆件不存在剪切变形.

▲图3

设截面中性轴至微段上、下侧表面的距离分别为,中性轴处温度的变化为,由于,按几何关系可得

设材料的线膨胀系数为,则微段因温度变化引起的轴向应变和曲率可分别表达为

式中为杆件上下侧温度变化之差.

对称轴两侧的温度均升高℃，由(1)知BD杆的轴向伸长量是横梁以及边柱AD,CF的2倍。注意变形曲线凸向温度高的一侧。

▲图4

在处增加限制竖向运动的约束，如图4所示，相当于将端由自由变形状态向下拉一段距离，原因是中柱伸长量是边柱AD,CF的2倍。由此可知，支座竖向反力是向下的，故可以画出横梁的弯矩，如图5所示。

▲图5

在处增加限制水平运动的约束，如图6所示，相当于将端向内推一段距离。此时水平支座的反力指向对称轴。忽略其他因素，由此可得边柱AD,CF的弯矩，在经过一轮弯矩分配可得弯矩图，如图7所示。

▲图6

▲图7

在处增加限制转动的约束，如图8所示，相当于将端顺时针方向转动了一个角度，由此可得最终变形图。忽略其他因素，由此可得边柱AD,CF的弯矩，在经过一轮弯矩分配可得弯矩图，如图9所示。

▲图8

▲图9

将图5,图7,图9的弯矩叠加，得到最终弯矩图，如图10所示。

▲图10