数据库关系运算理论：传统的集合运算概念解析

传统的集合运算

关系代数的运算对象和结果均为关系。

关系代数用到的运算符包括集合运算符、专门的关系运算符、比较运算符和逻辑运算符

如表 2.3 所示。

开运算

例题 2.1 在校学生关系 R 和休学学生关系 S，其中关系 R 与关系 S 都有四个属性(学号，姓名，性别，状态)，若要取得所有学生关系T，则关系T由属于在校学生关系 R和休学学生关系S的所有元组组成(即为集合并运算)，并且得到的关系T仍然有四个属性(学号，姓名，性别，状态)。

如下表 2.4、表 2.5、表 2.6 所示。

由此，关系R与关系S的并(union)记作:

R U S= \left \{ t|t\varepsilon R \vee t \epsilon S \right \}

其结果关系仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成。

差运算

例题 2.2 有本店商品关系 R和不合格商品关系S，其中关系 R 与关系 S都有三个属性(品牌，名称，厂家)，若要找出本店内合格的商品关系T，则关系T由属于本店商品关系 R而不属于不合格商品关系S的元组组成(即为集合差运算)，并且得到的关系T仍然有三个属性(品牌，名称，厂家)。

如表 2.7、表 2.8、表2.9所示。

由此，关系R与关系S的差(Difference)记作:

R - S= \left \{ t|t\varepsilon R\wedge t \notin S \right \}

其结果关系仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成。

交运算

例题 2.3 在上例中，若要找出本店内不合格的商品关系T，则关系T由既属于本店商品关系 R 又属于不合格商品关系S的元组组成(即为集合交运算)，并且得到的关系T仍然有三个属性(品牌，名称，厂家)。

如表210 所示,

由此，关系R与关系S的交(Intersecticm)记作:

R \cap S= \left \{ t|t\varepsilon R \wedge t \epsilon S \right \}

其结果关系仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成。关系的交运算可以用差运算来表示，即R

\cap

S=R-(R-S)，或R

\cap

S=S-(S-R)。

广义笛卡尔积

例题 2.4 现有学生关系 R 和必修课程关系 S,其中关系 R 有两个属性(学号姓名),关系S有三个属性(课程号,课程名、学分)每个学生必须学习所有必修课程，要求形成选课关系T。由学生选修课程形成的选课关系必须包括学生关系R的属性和必修课程关系S的属性，即关系 T包括学号，姓名，课程号，课程名和学分五个属性，由于学生关系R中两个元组选修的课程都对应着必修课程关系S中的三个元组，所以，选课关系T共有六个元组，则得到的关系T由五个属性和六个元组组成(即为笛卡尔积运算)。

如表2.11、表2.12、表 2.13 所示。

两个分别为 n 目和m 目的关系 R和S的广义笛卡儿积是一个(n+m )列的元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组后m 列是关系S的一个元组。

若R有

k_{1}

个元组，S有

k_{2}

个元组则关系 R和关系S的广义笛卡儿积有

k_{1}

,x

k_{2}

,个元组。

记作:

R \times S=\left \{ \widehat{t_{r}{t_{s}}}|t_{r}\epsilon R\wedge t_{s}\epsilon S\right \}

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