互信息

为为为什么

发布于 2024-04-08 09:53:37

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发布于 2024-04-08 09:53:37

文章被收录于专栏：又见苍岚

在概率论和信息论中，两个随机变量的互信息（mutual Information，MI）度量了两个变量之间相互依赖的程度。。

简介

对于两个随机变量，MI是一个随机变量由于已知另一个随机变量而减少的“信息量”（单位通常为比特）。互信息的概念与随机变量的熵紧密相关，熵是信息论中的基本概念，它量化的是随机变量中所包含的“信息量”。

MI不仅仅是度量实值随机变量和线性相关性(如相关系数)，它更为通用。MI决定了随机变量 {\displaystyle {\displaystyle (X,Y)}}的联合分布与 {\displaystyle X} 和 {\displaystyle Y} 的边缘分布的乘积之间的差异。MI是点互信息（Pointwise Mutual Information，PMI）的期望。克劳德·香农在他的论文A Mathematical Theory of Communication中定义并分析了这个度量，但是当时他并没有将其称为“互信息”。这个词后来由罗伯特·法诺创造。互信息也称为信息增益。

定义

，那么，它们之间的互信息可以定义为：

I(X;Y)=D_{\mathrm{KL}}(p(x,y)|p(x)\otimes p(y))

其中，

注意，根据KL散度的性质，若联合分布{\displaystyle p(x,y)} 等于边缘分布{\displaystyle p(x)}和{\displaystyle p(y)}的乘积，则 {\displaystyle I(X;Y)=0}，即当 X和 Y 相互独立的时候，观测到 Y对于我们预测X没有任何帮助，此时他们的互信息为0。

离散变量的互信息

离散随机变量 X 和 Y 的互信息可以计算为：

{\displaystyle I(X;Y)=\sum _{y\in Y}\sum _{x\in X}p(x,y)\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x),p(y)}}\right)},,!}

其中 p(x, y) 是 X 和 Y 的联合概率质量函数，而

连续变量的互信息

在连续随机变量的情形下，求和被替换成了二重定积分：

{\displaystyle I(X;Y)=\int _{Y}\int _{X}p(x,y)\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x),p(y)}}\right)};dx,dy,}

其中

如果对数以 2 为基底，互信息的单位是 bit。

性质

互信息性质

对任意随机变量 X,Y ，其互信息 I(X,Y) 满足：

对称性：

{\displaystyle I(X;Y)=I(Y;X)}

半正定：

{\displaystyle I(X;Y)\geq 0}

当且仅当独立时：

{\displaystyle I(X;Y)= 0}

平均互信息量不是从两个具体消息出发, 而是从随机变量X和Y的整体角度出发, 并在平均意义上观察问题, 所以平均互信息量不会出现负值。或者说从一个事件提取关于另一个事件的信息, 最坏的情况是0, 不会由于知道了一个事件,反而使另一个事件的不确定度增加。

极值性

I(X;Y)≤H(X)

I(Y;X)≤H(Y)

从一个事件提取关于另一个事件的信息量, 至多是另一个事件的熵那么多, 不会超过另一个事件自身所含的信息量。当 X 和 Y 是一一对应关系时: I(X;Y)=H(X), 这时 H(X|Y)=0。从一个事件可以充分获得关于另一个事件的信息, 从平均意义上来说, 代表信源的信息量可全部通过信道。当X和Y相互独立时: H(X|Y) =H(X), I(Y;X)=0。从一个事件不能得到另一个事件的任何信息,这等效于信道中断的情况。

链法则

I(X_{1},X_{2},\ldots X_{n};Y)=H(X_{1},X_{3},\ldots X_{n})-H(X_{1},X_{3},\ldots X_{n}|Y)

不等式

如果 U\to X\to Y\to V 构成马式链，则 I(U;V)\leq I(X;Y)。

概念理解

直观理解

直观上，互信息度量 X 和 Y 共享的信息：它度量知道这两个变量其中一个，对另一个不确定度减少的程度。

所以具体的解释就是: 互信息越小，两个来自不同事件空间的随机变量彼此之间的关联性越低; 互信息越高，关联性则越高 。

这证实了互信息的直观意义为: "因X而有Y事件"的熵( 基于已知随机变量的不确定性) 在"Y事件"的熵之中具有多少影响地位( “Y事件所具有的不确定性” 其中包含了多少 “Y|X事件所具有的不确性” )，意即"Y具有的不确定性"有多少程度是起因于X事件;

例如，如果 X 和 Y 相互独立，则知道 X 不对 Y 提供任何信息，反之亦然，所以它们的互信息为零。在另一个极端，如果 X 是 Y 的一个确定性函数，且 Y 也是 X 的一个确定性函数，那么传递的所有信息被 X 和 Y 共享：知道 X 决定 Y 的值，反之亦然。因此，在此情形互信息与 Y（或 X）单独包含的不确定度相同，称作 Y（或 X）的熵。而且，这个互信息与 X 的熵和 Y 的熵相同。（这种情形的一个非常特殊的情况是当 X 和 Y 为相同随机变量时。）

，因此：

{\displaystyle \log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x),p(y)}}\right)}=\log 1=0.,!}

与其他量的关系

互信息又可以等价地表示成：

$$ {\displaystyle {\begin{aligned}I(X;Y)&{}=H(X)-H(X|Y)\\&{}=H(Y)-H(Y|X)\\&{}=H(X)+H(Y)-H(X,Y)\\&{}=H(X,Y)-H(X|Y)-H(Y|X)\end{aligned}}} $$

其中 {\displaystyle \ H(X)} 和 {\displaystyle \ H(Y)} 是边缘熵，H(X|Y) 和 H(Y|X) 是条件熵，而 H(X,Y) 是 X 和 Y 的联合熵。注意到这组关系和并集、差集和交集的关系类似

如果把熵 H(Y) 看作一个随机变量于不确定度的量度，那么 H(Y|X) 就是"在已知 X 事件后Y事件会发生"的不确定度。于是等式的右边第二行就可以读作“将Y事件的不确定度，减去基于X事件后Y事件因此发生的不确定度”。

注意到离散情形 H(X|X) = 0，于是 H(X) = I(X;X)。因此 I(X;X) ≥ I(X;Y)，我们可以制定”一个变量至少包含其他任何变量可以提供的与它有关的信息“的基本原理。

相对熵表示

的相对熵：

{\displaystyle I(X;Y)=D_{\mathrm {KL} }(p(x,y)|p(x)p(y)).}

此外，令

$$ {\displaystyle {\begin{aligned}I(X;Y)&{}=\sum _{y}p(y)\sum _{x}p(x|y)\log _{2}{\frac {p(x|y)}{p(x)}}\\&{}=\sum _{y}p(y)\;D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))\\&{}=\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))\}.\end{aligned}}} $$

注意到，这里相对熵涉及到仅对随机变量 X 积分，表达式 {\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)|p(x))} 现在以 Y 为变量。于是互信息也可以理解为相对熵 X 的单变量分布 p(x) 相对于给定 Y 时 X 的条件分布 p(x|y) ：分布 p(x|y) 和 p(x) 之间的平均差异越大，信息增益越大。