【数据结构六】图文结合详解二叉树（五千字）

小皮侠

发布于 2024-04-08 20:43:50

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发布于 2024-04-08 20:43:50

二叉树

树是一种非线性的数据结构，它是由n个结点组成的具有层次关系的集合，把他叫做树是因为它的根朝上，叶子朝下，看起来像一颗倒挂的树。二叉树是一种最多只有两个节点的树型结构。这篇文章会用Java代码手撕二叉树的实现，从概念到实现，到oj题训练，你不仅能学会二叉树，还能加深对它的理解和运用。

1.树形结构的概念

在树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树型结构，它具有以下的特点：

子树是不相交的；
除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点；
一颗N个结点的树有N-1条边。

树中的相关概念：

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6

树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6

叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

树的应用：

树的思想和应用在我们周围应用非常广泛也非常重要，比如树的遍历运用递归的思想，电脑中的文件管理系统（目录和文件）运用树形结构存储。

2.二叉树的性质

二叉树是一个节点的有限集合，要么为空，要么是由一个根节点加上两颗被称为左子树和右子树的二叉树组成。如下图所示：

两种特殊的二叉树：

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。

2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质：

若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^i-1 (i>0)个结点
若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k - 1 (k>=0)
对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1)上取整
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩

3.如何构造一个二叉树

常见树的表示方式有很多种，如：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法，孩子兄弟表示法等等。

二叉树用代码进行表示时有两种方法，一是通过数组形式的顺序存储，二是类似于链表的链式存储。

顺序存储：将元素存储到数组中，利用二叉树的性质5进行存储，设i为节点在数组中的下标，则：

如果i为0，则i表示的节点为根节点，否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2
如果2 * i + 1 小于节点个数，则节点i的左孩子下标为2 * i + 1，否则没有左孩子
如果2 * i + 2 小于节点个数，则节点i的右孩子下标为2 * i + 2，否则没有右孩子

完全二叉树

一般二叉树

tips：对于非完全二叉树，则不适合使用顺序方式进行存储，，空间中必须存储空节点，导致空间利用率很低。

链式存储：二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
} 

// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}

4.二叉树的基本操作

二叉树遍历分为四种：

前序遍历——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
中序遍历——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
后序遍历——根的左子树--->根的右子树--->根节点。
层序遍历——第一层--->第二层--->第三层--->...最后一层

下面是用代码分别实现这四种遍历方式的过程。

package Mytree;

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Queue;

/**
 * Created with IntelliJ IDEA.
 * Description:
 * User:莎土比亚
 * Date:2024-03-08
 * Time:18:06
 */
public class Mytree {
    class Node{
        public Node(int val) {
            this.val=val;
        }
        int val;
        Node left;
        Node right;
    }
    private int usedsize;
    Node root;
    public Mytree(){
        root=null;
        usedsize=0;
    }
    public void createBinaryTree(){
        Node node1 = new Node(1);
        Node node2 = new Node(2);
        Node node3 = new Node(3);
        Node node4 = new Node(4);
        Node node5 = new Node(5);
        Node node6 = new Node(6);
        root = node1;
        node1.left = node2;
        node2.left = node3;
        node1.right = node4;
        node4.left = node5;
        node5.right = node6;
    }
    // 前序遍历
    public void preOrder(Node root) {
        if(root==null){
            return;
        }
        System.out.print(root.val+" ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }
    // 中序遍历
    public void inOrder(Node root) {
        if(root==null){
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        inOrder(root.right);
    }
    // 后序遍历
    public void postOrder(Node root){
     if(root==null){
         return;
     }
     postOrder(root.left);
     postOrder(root.right);
     System.out.print(root.val+" ");
    }
    //层序遍历
    public void LeOrder(Node root){
        Queue<Node> list=new LinkedList<>();
        list.add(root);
        while (!list.isEmpty()){
            Node cur=list.poll();
            if(cur!=null){
            System.out.print(cur.val+" ");
            list.add(cur.left);
            list.add(cur.right);
           }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Mytree tree=new Mytree();
        tree.createBinaryTree();
        System.out.println("前序遍历");
        tree.preOrder(tree.root);
        System.out.println("\n中序遍历");
        tree.inOrder(tree.root);
        System.out.println("\n后序遍历");
        tree.postOrder(tree.root);
        System.out.println("\n层序遍历");
        tree.LeOrder(tree.root);
    }
}

二叉树的常见方法：

// 获取树中节点的个数
int size(Node root);

// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);

// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root,int k);

// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);

// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);

//层序遍历
void levelOrder(Node root);

// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root);

创建一个MyTree类实现一个自己的二叉树并包含上述方法：

    // 获取树中节点的个数
    int size(Node root) {
        int num=0;
        if(root==null){
            return 0;
        }
        num+=size(root.left);
        num+=size(root.right);
        num++;
        return num;
    }

    // 获取叶子节点的个数
    int getLeafNodeCount(Node root) {
        if(root==null){
            return 0;
        }
        if(root.left==null&&root.right==null) {
            return 1;
        }
        return getLeafNodeCount(root.left)+getLeafNodeCount(root.right);
    }

   //  获取第K层节点的个数
    int getKLevelNodeCount(Node root,int k) {
     if(k==1){
         return 1;
     }
     return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }

   // 获取二叉树的高度
   int getHeight(Node root) {
        if(root==null){
            return 0;
        }
        return Math.max(getHeight(root.left),getHeight(root.right))+1;
   }

    // 检测值为value的元素是否存在
    Node find(Node root, int val){
        if (root==null){
            return null;
        }
        if(root.val==val){
            return root;
        }
        Node left=find(root.left,val);
        Node right=find(root.right,val);
        if(left!=null){
            return left;
        }
        return right;
    }

    // 判断一棵树是不是完全二叉树
    boolean isCompleteTree(Node root) {
        if(root==null){
            return true;
        }
        if((root.left==null&&root.right!=null)||(root.left!=null&&root.right==null)){
            return false;
        }
        return isCompleteTree(root.left)&&isCompleteTree(root.right);
    }