树(Tree) - 概念与基础
树(Tree) - 概念与基础
树的基本概念
树(Tree)是一种重要的数据结构，它在计算机科学中被广泛应用于各种算法和程序中。树是由节点(node)组成的层次结构，其中每个节点都有一个父节点，除了根节点外，每个节点都有零个或多个子节点。树的一个关键特点是没有循环路径：从任何节点开始，通过父节点到达任何其他节点都是唯一的。
树的基本术语
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推； 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林
常见类型的树
二叉树 (Binary Tree) 二叉搜索树（Binary Search Tree，BST） 平衡树（Balanced Tree）
树的表示
我们经常用孩子兄弟表示法进行树的结构表示
- 同层为兄弟关系
- 上下层为双亲与孩子的关系
表示法的代码构成：
typedef int Datatype;
struct Node
{
struct Node* first_Child; // 指向父亲对应的下一层的第一个孩子
struct Node* nextBrother; // 指向该层的下一个兄弟节点
// 每个节点存放的数据
} 图示：
二叉树的概念和结构
二叉树(Binary Tree)是一种重要的数据结构，它由节点(node)组成的层次结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。二叉树在计算机科学中被广泛应用，是许多其他数据结构和算法的基础。
二叉树的概念
根节点(Root)：二叉树的顶部节点，它是整棵树的起点，没有父节点。 父节点(Parent)：每个节点都有一个父节点，除了根节点外。父节点连接着它的子节点。 子节点(Child)：每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。如果某个节点只有一个子节点或没有子节点，则相应的子节点为空。 叶子节点(Leaf)：没有子节点的节点称为叶子节点。叶子节点位于树的底部，是树的末端。
二叉树的结构
1
/ \
2 3
/ \ / \
4 5 6 7- 每个节点最多有两个子节点：每个节点最多有两个子节点，分别是左子节点和右子节点。
- 层次结构：二叉树是一种层次结构，每个节点的深度可以通过从根节点开始向下计算得到。
- 唯一路径：从根节点到任何其他节点都有唯一的路径，这保证了树的无环结构。
特殊的二叉树类型
- 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
- 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树的存储结构
顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。
链式存储示例代码：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
// 定义二叉树节点结构
typedef struct TreeNode
{
int data;
struct TreeNode* left;
struct TreeNode* right;
} TreeNode;
// 创建新节点
TreeNode* createNode(int value)
{
TreeNode* newNode = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
if (newNode == NULL)
{
printf("Memory allocation failed!\n");
exit(1);
}
newNode->data = value;
newNode->left = NULL;
newNode->right = NULL;
return newNode;
}
// 主函数
int main()
{
// 创建二叉树节点
TreeNode* root = createNode(1);
root->left = createNode(2);
root->right = createNode(3);
root->left->left = createNode(4);
root->left->right = createNode(5);
// 访问节点值并输出
printf("Binary Tree Structure:\n");
printf(" %d\n", root->data);
printf(" / \\ \n");
printf(" %d %d\n", root->left->data, root->right->data);
printf(" / \\ \n");
printf(" %d %d\n", root->left->left->data, root->left->right->data);
return 0;
}