维诺图分析与实现

恋喵大鲤鱼

发布于 2024-05-24 14:31:26

590

发布于 2024-05-24 14:31:26

文章被收录于专栏：C/C++基础

1.问题描述

1.1 定义

维诺图（Voronoi Diagram）又叫泰森多边形或 Dirichlet 图，由两邻点连线的垂直平分线组成的连续多边形构成。

维诺图有如下特点：

每个V多边形内有一个生成元；
每个V多边形内点到该生成元距离短于到其它生成元距离；
多边形边界上的点到生成此边界的生成元距离相等；
邻接图形的 Voronoi 多边形界线以原邻接界线作为子集。

1.2 应用

在计算几何学科中的重要地位，由于其根据点集划分的区域到点的距离最近的特点，其在地理学、气象学、结晶学、航天、核物理学、机器人等领域具有广泛的应用。如在障碍物点集中，规避障碍寻找最佳路径。

2.算法分析与设计

Voronoi 图有着按距离划分邻近区域的普遍特性，应用范围广。生成 V 图的方法很多，常见的有分治法、扫描线算法和Delaunay三角剖分算法。

2.1 方法和步骤

本次实验采用的是 Delaunay 三角剖分算法。主要是指生成 Voronoi 图时先生成其对偶元 Delaunay 三角网，再找出三角网每一三角形的外接圆圆心，最后连接相邻三角形的外接圆圆心，形成以每一三角形顶点为生成元的多边形网。

建立 Voronoi 图算法的关键是对离散数据点合理地连成三角网，即构建 Delaunay 三角网。

建立 Voronoi 图的步骤为：

离散点自动构建三角网，即构建Delaunay三角网。对离散点和形成的三角形编号，记录每个三角形是由哪三个离散点构成的。
计算每个三角形的外接圆圆心，并记录之。
遍历三角形链表，寻找与当前三角形pTri三边共边的相邻三角形TriA，TriB和TriC。
如果找到，则把寻找到的三角形的外心与pTri的外心连接，存入维诺边链表中。如果找不到，则求出最外边的中垂线射线存入维诺边链表中。
遍历结束，所有维诺边被找到，根据边画出维诺图。

2.2 生成 Delaunay 三角网

建立Voronoi图的关键是Delaunay三角网的生成。Delaunay三角网的特性：（1）空圆性，任一三角形外接圆内部不包含其他点。（2）最接近：以最近临的三点形成三角形，且各线段(三角形的边)皆不相交。（3）唯一性：不论从区域何处开始构建，最终都将得到一致的结果。（4）最优性：任意两个相邻三角形形成的凸四边形的对角线如果可以互换的话，那么两个三角形六个内角中最小的角度不会变大。（5）最规则：如果将三角网中的每个三角形的最小角进行升序排列，则Delaunay三角网的排列得到的数值最大。（6）区域性：新增、删除、移动某一个顶点时只会影响临近的三角形。（7）具有凸多边形的外壳：三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。

Delaunay 剖分是一种三角剖分的标准，实现它有多种算法。本次采用 Bowyer-Watson 算法，算法的基本步骤是：

构造一个超级三角形，包含所有散点，放入三角形链表。
将点集中的散点依次插入，在三角形链表中找出其外接圆包含插入点的三角形（称为该点的影响三角形），删除影响三角形的公共边，将插入点同影响三角形的全部顶点连接起来，从而完成一个点在Delaunay三角形链表中的插入。
根据优化准则对局部新形成的三角形进行优化。将形成的三角形放入Delaunay三角形链表。
循环执行上述第 2 步，直到所有散点插入完毕。

关键步骤 2 如下图所示：

步骤 3 的局部优化的准则指的是：

对新形成的三角形进行优化，将两个具有共同边的三角形合成一个多边形。
以最大空圆准则作检查，看其第四个顶点是否在三角形的外接圆之内。
如果在，修正对角线即将对角线对调，即完成局部优化过程的处理。

LOP （Local Optimization Procedure）处理过程如下图所示：

2.3 数据结构设计

本程序的实现采用 C# 面向对象语言实现，故数据结构的设计采用类的形式，具体有：

// 点
public class Site {
	public double x, y;
	public Site(){}
    public Site(double x, double y) {
    	this.x = x;
        this.y = y;
	}
}

// 边
public class Edge {
	public Site a, b;
    public Edge(Site a, Site b) {
    	this.a = a;
        this.b = b;
	}
}

// 三角形
public class DelaunayTriangle {
	Voronoi voronoi = new Voronoi();
	public Site site1, site2, site3;//三角形三点
	public Site centerPoint;//外界圆圆心
	public double radius;//外接圆半径
	public List<DelaunayTriangle> adjoinTriangle;//邻接三角形 

	public DelaunayTriangle(Site site1,Site site2,Site site3) {
		centerPoint = new Site();
		this.site1 = site1;
		this.site2 = site2;
		this.site3 = site3;
		// 构造外接圆圆心以及半径
		voronoi.circle_center(centerPoint, site1, site2,site3,ref radius);
	}
}

2.4 复杂度分析

Delaunay 三角网的生成的时间复杂度：步骤一：构造一个超级三角形，O（1）；步骤二：产找影响的三角形，构造新的三角形，

O（1+2+…+n）=O(n^2)

步骤三：对新形成的三角形进行优化局部优化：O(n)。因此，整体时间复杂度是：

O(1)+O(n^2)+O(n)=O(n^2)

。

从 Delaunay 三角网生成 Voronoi 图的时间复杂度：步骤一：构造构建 Delaunay 三角网，

O(n^2)

；步骤二：计算三角形外接圆圆心，O(n)；步骤三：寻找三角形三边相邻三角形：3O(n)；步骤四：找到的维诺边存入链表中，画出维诺图：O(n)。

因此，整体时间复杂度是

O(n2)+ O(n)+ 3O(n)+ O(n)=O(n^2)

。

3.实验结果

随机生成点：

生成 Delaunay 三角形网：

生成 Voronoi 图：

生成 Voronoi 图的可执行程序和源码工程文件见 here。

下面附上相关函数申明（详细代码见源码工程文件）。

//根据点集构造Delaunay三角形网
public void setDelaunayTriangle(List<DelaunayTriangle> allTriangle, List<Site> sites);

//根据Delaunay三角形网构造Voronoi图的边
public List<Edge> returnVoronoiEdgesFromDelaunayTriangles(List<DelaunayTriangle> allTriangle, List<Edge> voronoiRayEdgeList);

//根据三角形链表返回三角形所有的边
public List<Edge> returnEdgesofTriangleList(List<DelaunayTriangle> allTriangle);

//对新形成的三角形进行局部优化
public List<DelaunayTriangle> LOP(List<DelaunayTriangle> newTriList);
 
//判断边是否属于三角形
public bool isEdgeOnTriangle(DelaunayTriangle triangel,Edge edge);

//判断点是否属于三角形
public bool isPointOnTriangle(DelaunayTriangle triangle, Site site);

//将点与受影响的三角形三点连接，形成新的三个三角形添加到三角形链中
public void addNewDelaunayTriangle(List<DelaunayTriangle> allTriangles,DelaunayTriangle influenedTri,Site point);

//找出受影响的三角形的公共边
public List<Edge> findCommonEdges(List<DelaunayTriangle> influenedTriangles);

//找出两个三角形的公共边
public Edge findCommonEdge(DelaunayTriangle chgTri1, DelaunayTriangle chgTri2);

//判断插入点是否在三角形边上
public Site[] isOnEdges(DelaunayTriangle triangle,Site site);  

//判断点是否在三角形外接圆的内部
public bool isInCircle(DelaunayTriangle triangle, Site site) ;

//求三角形的外接圆心
public void circle_center(Site center, Site sites0, Site sites1, Site sites2, ref double radius) ;

//求两点之间距离
public double distance2Point(Site p,Site p2);

PS：由于时间和水平有限，博文难免有不足甚至错误之处，仅供参考，欢迎批评指正。