特征值和特征向量的解析解法--带有重复特征值的矩阵

当一个矩阵具有重复的特征值时，意味着存在多个线性无关的特征向量对应于相同的特征值。这种情况下，我们称矩阵具有重复特征值。

考虑一个n×n的矩阵A，假设它有一个重复的特征值λ，即λ是特征值方程det(A-λI) = 0的多重根。我们需要找到与特征值λ相关的特征向量。

首先，我们计算特征值λ的代数重数，它表示特征值λ在特征值方程中出现的次数。设代数重数为m，即λ在特征值方程中出现m次。

接下来，我们需要找到m个线性无关的特征向量对应于特征值λ。我们可以通过以下步骤进行计算：

1. 对于每一个特征值λ，我们解决线性方程组(A-λI)x = 0来获得一个特征向量。这里，A是矩阵，λ是特征值，x是特征向量。
2. 如果代数重数m为1，那么我们已经找到了唯一的特征向量。它是解线性方程组(A-λI)x = 0的解。
3. 如果代数重数m大于1，我们需要进一步寻找额外的线性无关特征向量。可以使用以下方法之一： a. 利用线性方程组(A-λI)x = 0的解空间的性质，构造线性无关的特征向量。这涉及到使用高斯消元法或LU分解来求解方程组，并在求解时保持线性无关性。 b. 利用特征向量的正交性质。如果我们已经找到一个特征向量v₁，我们可以通过正交化过程来找到与之正交的特征向量v₂。通过Gram-Schmidt正交化方法，我们可以计算出一个正交的特征向量集合。

当矩阵具有重复特征值时，我们需要找到与特征值相关的线性无关特征向量。对于代数重数为1的特征值，只需要求解一个线性方程组即可获得唯一的特征向量。对于代数重数大于1的特征值，我们需要进一步寻找额外的线性无关特征向量，可以利用线性方程组解空间的性质或特征向量的正交性质来构造这些特征向量。这样，我们就可以完整地描述带有重复特征值的矩阵的特征向量。