运筹学是研究在给定的资源限制下如何进行有效决策的学问。其中,线性规划和动态规划是两种重要的运筹方法,它们在解决资源优化分配、成本最小化、收益最大化等问题上有着广泛的应用。
线性规划是一种数学方法,用于在满足一系列线性不等式或等式约束条件下,寻找线性目标函数的最大值或最小值。线性规划的一般形式可以表达为:
线性规划的一个典型例子是生产问题,比如一个工厂生产两种产品,每种产品的利润和生产所需的原材料、时间等都是已知的,如何安排生产以达到最大利润。
动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式来解决复杂问题的方法。它通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。动态规划通常用于序列问题、最优路径问题等,其基本思想是从最简单的子问题开始逐步求解,将每个子问题的解存储起来,避免重复计算。
动态规划的一个经典例子是背包问题,即给定一组物品,每种物品都有自己的重量和价值,在限定的总重量内,选择某些物品装入背包,使得背包内物品的总价值最大。