使用中国剩余定理（CRT）进行RSA解密

曈曈too

发布于 2024-06-14 13:13:23

1980

发布于 2024-06-14 13:13:23

AI摘要：本文介绍了如何使用中国剩余定理（CRT）高效地进行RSA解密。首先，概述了RSA加密的基本原理，包括密钥对的生成、加密和解密过程。接着，详细解释了中国剩余定理的概念及其在RSA解密中的应用，包括计算模$p$和模$q$下的部分明文、求解$q$的模$p$的逆元$q_{\text{inv}}$，以及如何合并这些结果来得到最终的明文$m$。文章还提供了一个完整的Python实现，展示了如何计算模数$n$、使用inverse函数计算逆元、使用快速幂算法计算部分明文，以及如何合并结果得到明文。通过CRT，RSA解密过程在计算上变得更加高效，因为它允许在较小的模数下进行计算。

使用中国剩余定理（CRT）进行RSA解密

在RSA加密中，如果我们知道私钥的因子 p 、 q 、 dp 、 dq 和密文 c ，可以使用中国剩余定理（CRT）来高效地解密。本文将详细解释CRT的原理，并提供一个完整的Python实现。

RSA加密和解密基本原理
生成密钥对：选择两个大素数 p 和 q 。计算 n = p \times q 。计算 \phi(n) = (p-1) \times (q-1) 。选择一个整数 e 使得 1 < e < \phi(n) $``$ e 与 \phi(n) 互质。计算 d 使得 e \times d \equiv 1 \pmod{\phi(n)} ，即 d 是 e 在模 \phi(n) 下的逆元。
加密：公钥由 (e, n) 组成。私钥由 (d, n) 组成。加密消息 m 假设 m < n $``$ c = m^e \mod n 得到密文 c 。
解密：解密密文 c 使用公式 m = c^d \mod n 得到明文 m 。

中国剩余定理（CRT）概述

中国剩余定理是一种在模数不互质的情况下解决同余方程组的方法。具体来说，如果我们有两个互质的整数 p 和 q ，以及两个同余方程：

$$ \begin{cases} x \equiv a \pmod{p} \ x \equiv b \pmod{q} \end{cases} $$

根据中国剩余定理，这两个方程组有一个唯一解 x 在模 pq 意义下。

在RSA解密中的应用

在RSA中，我们有以下已知参数：

两个大素数 p 和 q 。
公钥模数 n = p \times q 。
私钥指数 d 。
dp = d \mod (p-1) 和 dq = d \mod (q-1) 。
密文 c 。

我们的目标是解密密文 c ，得到明文 m 。

详细步骤

m_p = c^{dp} \mod p

计算：

m_q = c^{dq} \mod q

的逆元，满足：

q \times q_{\text{inv}} \equiv 1 \pmod{p}

可以使用扩展欧几里得算法来计算。

h = (q_{\text{inv}} \times (m_p - m_q)) \mod p

计算最终的明文：

m = m_q + h \times q \mod n

Python实现

下面是完整的Python代码以及详细注释：

from Crypto.Util.number import inverse, long_to_bytes

p = 8637633767257008567099653486541091171320491509433615447539162437911244175885667806398411790524083553445158113502227745206205327690939504032994699902053229
q = 12640674973996472769176047937170883420927050821480010581593137135372473880595613737337630629752577346147039284030082593490776630572584959954205336880228469
dp = 6500795702216834621109042351193261530650043841056252930930949663358625016881832840728066026150264693076109354874099841380454881716097778307268116910582929
dq = 783472263673553449019532580386470672380574033551303889137911760438881683674556098098256795673512201963002175438762767516968043599582527539160811120550041
c = 24722305403887382073567316467649080662631552905960229399079107995602154418176056335800638887527614164073530437657085079676157350205351945222989351316076486573599576041978339872265925062764318536089007310270278526159678937431903862892400747915525118983959970607934142974736675784325993445942031372107342103852

n = p*q
phi_n = (p - 1) * (q - 1)
q_inv = inverse(q, p)  # 计算 q 模 p 的逆元
m1 = pow(c, dp, p)  # 计算 c^dp mod p
m2 = pow(c, dq, q)  # 计算 c^dq mod q
h = (q_inv * (m1 - m2)) % p  # 计算 h
m = (m2 + h * q) % n  # 合并结果得到明文 m
print(long_to_bytes(m))

解释代码