AVL树是如何保持平衡性的？

前言

上文对常见的数据结构进行了简单介绍，包括它们的定义、性质和特点。本文将对AVL树展开介绍，通过对AVL树的插入、删除、查找以及旋转操作全面掌握AVL树。

AVL树的平衡性

通过上文可以知道AVL树通过旋转操作解决二叉查找树可能成为线性结构的问题，也简单描述了左旋、右旋操作可以保持树的平衡。那么就有个问题：AVL树什么情况下进行左旋、右旋操作？

总的来说，当破坏树的平衡后需要左旋、右旋操作。什么时候会破坏？AVL树平衡性取决于左右子树高度差，也就是当插入或删除节点导致某个节点的左右子树高度差大于1时视为破坏树的平衡性，此时需要左旋、右旋操作来保持平衡。

不平衡的几种情况

因为出现不平衡会有好几种情况，所以每个情况的旋转操作都是不一样的，下图为不平衡的几种情况。

• LL：以上图为例，节点9的左子树高度为2且左子树也只有左子树，而右子树高度为0，两者高度差为2，大于1，破坏了树的平衡，这种情况称为LL。节点9需要进行一次右旋操作。
• LR：以上图为例，节点10的左子树高度为2且左子树只有右子树，而右子树高度为0，两者高度差为2，大于1，破坏了树的平衡，这种情况称为LR。节点8需要先进行一次左旋操作后节点10再进行一次右旋操作。
• RR：以上图为例，节点9的右子树高度为2且右子树也只有右子树，而左子树高度为0，两者高度差为2，大于1，破坏了树的平衡，这种情况称为RR。节点9需要进行一次左旋操作。
• RL：以上图为例，节点8的右子树高度为2且右子树只有左子树，而右子树高度为0，两者高度差为2，大于1，破坏了树的平衡，这种情况称为RL。节点10需要先进行一次右旋操作后节点8再进行一次左旋操作。

AVL树恢复平衡

接下来演示这几种情况如何通过旋转操作恢复平衡的。

先复习一下：

右旋操作：以某个节点为旋转点，其左子节点变为其父节点，左子节点的右子节点变为其左子节点，右子节点不变。

左旋操作：以某个节点为旋转点，其右子节点变为其父节点，右子节点的左子节点变为其右子节点，左子节点不变。

LL恢复平衡

LL恢复平衡：一次右旋操作。

如上图，当插入节点6时，会向上更新节点的高度，当到达节点8时会发现其左子树高度为2，右子树为0，高度差为2，此时以节点8为旋转点向右旋转一次：节点7变为节点8的父节点，节点7的右子节点变为节点8的左子节点，节点8右子节点不变。示例代码如下：

private Node rotateRight(Node node) {
	//节点7将作为父节点
    Node newRoot = node.left;  
    //先将节点7的右子节点变为节点8的左子节点，这里因为没有，所以为null
    node.left = newRoot.right;  
    //节点7变为节点8的父节点，因为是右旋，所以成为新父节点的右子节点
    newRoot.right = node;  
    //更新节点高度
    node.height = Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right)) + 1;  
    newRoot.height = Math.max(getHeight(newRoot.left), getHeight(newRoot.right)) + 1;  
    return newRoot;  
}  

RR恢复平衡

RR恢复平衡同LL。

LR恢复平衡

LR恢复平衡：一次左旋操作之后再一次右旋操作。

如上图，当插入节点6时，会向上更新节点的高度，当到达节点7时会发现其左子树高度为2，右子树为0，高度差为2，此时以节点5为旋转点向左旋转一次：节点6变为节点5的父节点，之后再以节点7为旋转点向右旋转一次，同上LL恢复平衡。示例代码如下：

private Node rotateRightAndLeft(Node node) {
	//节点5左旋
	node=rotateLeft(node.left);
	//节点7右旋
	node=rotateRight(node);
	return node;
}  


private Node rotateLeft(Node node) {
	//节点6将作为父节点
    Node newRoot = node.right;
    //先将节点5的右子节点变为节点6的左子节点，这里因为没有，所以指向null
    node.right = newRoot.left;  
    //节点6变为节点5的父节点，因为是左旋，所以成为新父节点的左子节点
    newRoot.left = node;  
    node.height = Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right)) + 1;  
    newRoot.height = Math.max(getHeight(newRoot.left), getHeight(newRoot.right)) + 1;  
    return newRoot;  
}  

RL恢复平衡

RL恢复平衡同LR。

总结

1. AVL是一棵自平衡的查找二叉树。
2. AVL的平衡性取决于某个节点的左右子树高度差是否大于1。
3. 当插入或删除节点时可能会导致树的不平衡。
4. 有4种不平衡的情况：LL、RR、LR、RL。
5. 当出现不平衡的情况需要通过旋转节点保持平衡。
   • LL：向右旋转一次。
   • RR：向左旋转一次。
   • LR：左子节点先左旋转一次，自己再向右旋转一次。
   • RL：右子节点先右旋转一次，自己再向左旋转一次。

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