简单易懂的造镜者公式

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具有相同形状和折射率的透镜将具有相同的焦距。

造镜者公式将透镜的折射率、两个表面的曲率半径和透镜的焦距联系起来。

使用了许多理想化、简化和近似来完成推导，但结果是紧凑的，并且对于大多数目的来说足够准确。

我们首先观察到，具有凸面的透镜的行为与平面接触的两个平凸透镜的行为相同。图（1）显示了将透镜分为两部分，我们将分别进行分析。

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图1 将镜片分成两半

回想一下，使用薄透镜，我们可以在不影响入射角和折射角的情况下反转光线的方向。因此，代表一个平凸透镜的图（2）可以被视为原始透镜的最右半部分或反转的最左半部分。在该图中，垂直光线进入透镜的平面。它在没有初始折射的情况下前进到曲面。当它从曲面上出现时，它会折射一个由Snell’s law确定的角度。从曲率中心延伸到出口点的半径决定了曲面法线。光线和法线之间的介质角度为θ1。折射光线与法线之间的角度为θ2。

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图2：透镜分析的射线图

如果透镜的折射率是n，我们取空气的折射率为1，Snell定律

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假设小角度（傍轴射线），我们现在用角度本身来近似角度的正弦，这样

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将其代入折射光线和轴之间的角度

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对于这些小角度，切线也接近角度本身。我们可以写作

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和

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消除等式（2）和等式（3）之间的h并从（1）代入，

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从透镜方程8中代入，该方程将物体和图像距离与焦距联系起来

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对透镜另一半的等效分析给出

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我们现在可以结合（5）和（6），注意到第一透镜的图像是第二透镜的虚拟对象。因此i1=−o2，加上两个方程，

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根据物体和图像距离写入透镜方程，

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但是o1和i2是整个透镜的物距和像距，因此o1=o和i2=i。因此，

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这是透镜制造商的公式。

考虑到所使用的近似值，我们不应该期望这个公式对于大入射角是准确的，但对于许多目的来说，它是非常有用的。