【数字信号处理】（二）第1章、离散时间信号与系统（连续时间信号的采样—奈奎斯特采样定理、离散时间系统的时域分析、常系数线性差分方程）

1.3 连续时间信号的采样

连续时间信号的采样是将连续时间信号转换为离散时间信号的过程：

1. 理想采样

在理想采样中，脉冲函数的宽度应为零，幅度应为无限大，且采样序列间的间隔也应为零。这使得采样后的离散时间信号不受采样过程的影响，并且能够完全重建原始的连续时间信号。

然而，理想采样是一个理论概念，无法在实际中完全实现。在实际中，采样过程中会存在采样器的有限带宽、抗混叠滤波器的实际响应等因素，导致采样信号与原始信号有一定的差异。因此，在实际应用中，采用近似的采样方法，并结合合适的抗混叠滤波器进行信号重建是更常见的做法。

2. 理想采样信号的频谱

线性时不变系统：时域相乘，频域为卷积运算！！！

理想采样后频谱发生了什么变化 ？

折叠频率：采样频率的一半

奈奎斯特采样定理！！！

要想采样后能够不失真地还原出原信号，采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率。

（若一个信号的最高频率为f_max，则采样率fs必须满足 fs ≥ 2*f_max)

采样率的意义在于决定在一个特定时间段内对信号进行采样的次数。如果采样率过低，会导致采样点之间的信息丢失，即出现混叠现象（Aliasing），无法准确重构原始信号。

3. 采样的恢复

采样的恢复是指通过对采样后的离散时间信号进行处理，以尽可能准确地重建原始连续时间信号。

在满足奈奎斯特定理的理想采样中，采样后频谱不产生频谱混叠：

4. 由采样信号序列重构带限信号

内插函数

1.4 离散时间系统的时域分析

离散时间系统表示

离散时间系统中最常用、最重要的系统是“线性时不变系统”

1. 线性系统

线性系统：满足叠加原理的系统称为线性系统。

叠加原理指系统对于输入信号的加权线性组合，其输出信号也是对应加权线性组合的关系。

• 线性系统必须同时满足叠加性和齐次性；
• 信号和比例常数可以是复数；
• 线性系统零输入产生零输出；
• 线性系统是“信号的分解，响应的叠加”的基础

例题

注意：线性方程表示的系统不一定是线性系统。

2. 时不变系统 （移不变系统）

指系统的行为不随时间的推移而改变。换句话说，对于给定的输入信号，系统在不同的时间点上的响应是相同的。

​​​例题

3. 单位抽样响应与系统的输入输出关系

4. 线性时不变系统的性质

5. 因果系统

因果系统 ：系统在任何时刻的输出只取决于该时刻以及该时刻以前的输入（系统的响应是由过去和当前的输入信号决定的，而不会受到未来输入信号的影响）

非因果系统：系统在任何时刻的输出不只取决于该时刻以及该时刻以前的输入，还取决于未来的输入

6. 稳定系统

稳定系统：有界输入，产生有界输出。 （BIBO）

稳定系统指系统在有限的输入范围内，输出会保持有界或趋向于某个有界区域。换句话说，稳定系统不会出现无限增长或发散的输出。

1.5 常系数线性差分方程

常系数线性微分方程—描述连续时间线性时不变系统输入输出关系

常系数线性差分方程—描述离散时间线性时不变系统输入输出关系

离散系统的差分方程表示

• 容易直接得到系统结构
• 便于求解系统的瞬态响应

常系数线性差分方程求解

1. 时域法

• 迭代法（简单，不易得到闭合解）
• 卷积法（用于求解系统零状态响应）

2. 变换域法 z变换