【数值计算方法（黄明游）】迭代法的一般形式与收敛性定理

一、向量、矩阵范数与谱半径

【数值计算方法（黄明游）】解线性代数方程组的迭代法（一）：向量、矩阵范数与谱半径【理论到程序】

1. 向量范数

范数（曼哈顿范数）：

范数（欧几里得范数）：

范数（无穷范数）：

2. 矩阵范数

• 弗罗贝尼乌斯范数（矩阵中每项数的平方和的开方值）

• 算子范数
  • 行和范数：当

  p = \infty

  时，算子范数被定义为矩阵中各行元素按绝对值求和所得的最大和数，即，

  ||A||_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|

  • 列和范数：当

  p = 1

  时，算子范数被定义为 矩阵列的绝对值之和的最大值。即，

  ||A||_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^n |a_{ij}|

  • 当

  p = 2

  时，算子范数即

  A

  的谱半径,谱半径是矩阵的特征值的按模最大值

  ||A||_2 = \sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^TA)} = p(A) = \max |\lambda|

3. 谱半径

  谱半径是矩阵的特征值按模最大的那个值，对于一个

的矩阵

，其谱半径

定义为：

二、迭代法的一般形式与收敛性定理

待完善……