傅里叶级数-三种表达方式(双三角，余弦，复指数）

傅里叶级数-系数求解，昨天的文章好像还挺多人看的，今天是第二篇，补全几种不同的表达形式。

再把这个东西放这里，要时刻提醒自己在哪里

先回忆一下昨天的内容：从函数项级数入手，说了一个函数可以使用很多的正交对函数来表示，然后使用均方差的概念构建了一个带有误差的逼近函数，多变量求偏导，求得里面的系数的表达方式。

此时这个级数也叫广义傅里叶级数，因为里面具体的正交函数还没有带入。

最后把系数都带入又得出了一个能量守恒的关系

然后我们拿出了三角函数系：

通过五个公式说明，任意两个不同的三角函数相乘在一个完整的大周期里面积分是0，当函数一样时，值是Π。

接着可以拿任意一个函数放在这里展开，但是这里你学过以后再看就知道其实这个要展开的东西就是我们的余弦形式：

你看是不是

™的，有种命中注定的感觉，不过有的推导也有使用SIN的，现在就知道了，COS的推导更有宿命感。

至于这个直流分量，写什么的都有，对于书上给的二分之一：

我给出了形式更好看所以做了处理的解释

然后在计算具体的系数的时候，都是使用了正交性的优点来求：

或者直接使用这个也可以

我不厌其烦的再写一次，也就是在正交基里面的1的求法。

就是因为这一项怪，单独处理了

昨天给出的是傅里叶形式的三角函数形式，里面有SIN和COS。

此处是分割线

我们首先来看一道题：一个方波如何分解。

这里最出名

然后bn的系数是这样的

然后一个物理学家发现了这个问题，就是尖角

这里请出我们的第二种形式，余弦方式

三角形式的傅里叶级数含义比较明确，但不太方便我们进行运算，因而将其变换为复指数形式的傅里叶级数。

引入COS和SIN和e之间的变换

最典的证明就是这个了，直接记住

我们是从余弦函数开始转换，直接打开

蓝色部分的重新赋值

这个是上面变换的，下面是换过值里面同意起来的值，看Σ的标

就变成了这样

也就是说其实有一部分是对偶的复数

在复指数形式下面我们说里面的参数有我画住的部分，然后我们把所有的参数写一起，混成为一个Fn，是指数形式的傅里叶系数

昨天的文章有个公式孤零零的没有着落，现在放这里，就无比合适

我们主要还是想知道系数是多少，又看见了a和b，你要知道傅里叶系数的计算是跑路不了的：

就是他们了

再看看，还二分之一啥的，然后下面的话就是，下面又进一步的给出了更加详细的参数计算方式。

来总结一下今天的内容，先回顾了昨天的内容，知道了最重要的系数的求法。

然后求了一个明星波形-方波，只是想说明无限多的曲线叠加以后会出现一个叫吉布斯的现象，而且这个地方的值是稳定的。

2

接着我们通过辅助角公式把现在的SIN+COS统一成了余弦形式，特别的给出了初始的相位角的求法。

1

三角形式的傅里叶级数含义比较明确，但不太方便我们进行运算，因而将其变换为复指数形式的傅里叶级数。我们借助欧拉公式，将原来三角函数形式里面的项用复指数重新表示：

1

你看完我的推导应该懂了吧？

那这么好的性质！是不是所有的函数都能被一通表示？不可以哦！

学这么细不要命了？

附 ：狄里赫利(Dirichlet)条件

条件1：在一个周期内，函数连续或只有有限个第一类间断点(间断点左右极限都存在)；

反例（无限个第一类间断点）：

啥是间断点

这种点性质好，但是图看上去有点难崩

这种叫可去

这种叫跳跃不连续

也就是说这种图像就是跳跃不连续，跟他妈跳楼一样

条件2：在一个周期内，函数极大值和极小值的数目应为有限个；

反例：

条件3：在一个周期内，函数绝对可积。

反例：

绝对可积是吧？

说起这里

绝对可积是一个关于函数积分性质的概念。 如果一个实值函数在某个区间上是绝对可积的，这意味着其绝对值的积分是有限的。 绝对可积的性质对于函数分析和泛函分析非常重要，因为它保证了函数的积分存在，并且可以进行各种数学操作，如傅里叶变换、拉普拉斯变换等

耶耶，装逼词汇

OK，总结一下

这里的平方是公式带出的，但是绝对值应该就是绝对可积的意思。

补一张乘风破浪的和谐号

https://blog.csdn.net/weixin_44378835/article/details/118000731

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%85%AC%E5%BC%8F