定积分在曲线长度中的基本概念

这篇文章又是一篇随笔，不过更看上去是散装文学（不算文学），终于熬到这里了，这里的概念不像前面的理论，需要计算的那么多，但是数形结合的地方很多。

很多图都是马同学的，我买了课就拿来一用了~

下面是之前学的关于数学的文章：

矩阵乘法观点-几何含义

二阶导数标记问题

定积分-黎曼和的极限

统计学-随机变量

蒙特卡洛计算PI（距离公式）+蒙特卡洛计算定积分

雷曼和：定积分就是黎曼和的极限

可积的充分条件：

这里补充什么样的原函数可以求积分

这样的就是最简单的可积，联系

这里是有，有限个间断点，而且是可去，去了对面积没有影响

有两个跳跃点也是可以的

这样的点就是跳跃点，左右极限都有，但是不一样，第一类点

顺手引出了左右极限，就是在一个数字的左右做文章，其实最巧妙的就是0处，注意看图的箭头，我们一般说，在一个点的左边（位置），右连续，另外一面对称。

如果区间包括端点，那么函数在右端点连续就是指左连续，在左端点连续就是指右连续。这样的说法也是有条件的。

ds为弧微分

这个是一种最直观，但是不加证明的表达方式

这样是放在整个曲线上面的直观证明

上面的笛卡尔坐标系，现在是参数坐标系

对于参数方程的求导是这样的，这里我想说的是反函数存在和求导的关系。

反函数不存在说明y不是X的函数，这里可能有些问题。

反函数有的地方还有这个:

反函数求导，就是原导数分之一，还有二阶导的死样子

函数的微分（英语：Differential of a function）是指对函数的局部变化的一种线性描述。

微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

运放确实是做出了以前是做数学计算的，比如下面这个微分放大器：

就是这样

就给sin求导，就是cos，最后一个，前面的我不会求导

输入电压信号的变化越快或越大，输入电流越大，响应时输出电压的变化就越大，形状越像“尖峰”。

使用弧长来推导⚪的曲率，也就是说曲率可以通过一维曲率公式（即弧长除以弧长上的距离）计算。

代码就是这样写

曲率（英语：curvature）即“弯曲度”，是描述几何体弯曲程度的量；直观地说，曲率是曲线偏离直线的量（程度），或是曲面偏离平面的量（程度）。

曲率的核心概念包括：

• 正曲率（Positive Curvature）：曲线或曲面弯曲方向与正向相同的曲率。
• 负曲率（Negative Curvature）：曲线或曲面弯曲方向与正向相反的曲率。
• 一维曲率（One-dimensional Curvature）：曲线上的曲率。
• 二维曲率（Two-dimensional Curvature）：曲面上的曲率。

摆线是指一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称圆滚线、旋轮线。

作为补充出现

https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%AC%A1%E6%91%86%E7%BA%BF

https://juejin.cn/post/7316591546992164874

https://www.matongxue.com/parts/2018/

https://www.matongxue.com/parts/2019/

https://www.zhihu.com/question/263774545

https://www.elecfans.com/analog/202005151217811.html