小张带你看看信号与系统三大变换（骂骂咧咧版）

你很着急，但知识不着急 我说的

你选择了学习，就慢下来学懂它

我爱信号处理，这东西太骚了。

我们打交道的就是时域空间，连续不间断的信号，电脑处理的是连续孤立的点。咋办咋办啊！

OK，连着是吧？都别活，想办法打撒就行了，怎么打？使用单位冲激，事实上这个是一个理想的概念，就是一个函数，这个函数是这样定义的：

这个样子的

就是我们把时间缩短，但是面积不变，自然而然的就出现了这样冲天线的东西。

然后呢，就是考虑这个信号的一些直观性质

一直看书里面都说冲激偶，终于明白了

这本书是职校的书，我有天搞到半份PDF，看的津津有味，后来费老鼻子劲儿才搞了本二手的。怎么说呢，职校的东西就真的说的很明白。咱们也不知道正经教材是不是怕我学会。

我这里不说这个东西咋来的，在信号系统是通过单位阶跃信号来的，然后还有一种是单位斜变信号，两个东西的关系就这样：

单位斜变信号是单位阶跃信号的积分（累积和）

单位阶跃信号是单位斜变信号的微分（导数）

至于为什么老是说，单位单位的，我觉得就是使用1这个数字，可能也是一种基的思想，就是有了1可以在上面进行合理的运算，另外性质是完全的。

所谓“冲击”，是指生产信号的时间足够的短，持续时间解决为0.

单位冲击信号是单位阶跃信号的微分（单位阶跃信号，在t=0时有一突变，微分为1；在t>0时，幅度恒定，微分为0）

单位阶跃信号是单位冲击信号的积分（单位阶跃信号，在t=0时，积分为1；t>0时，积分为0；所以t>=0时，积分为1 ）

下面这段理解我不确定对不对，就是一个抽象的过程。

生活中最多的，就是这样的信号，一开始没有，然后慢慢增长，最后平稳

然后我们考虑的极端点，没有这种缓慢的增长过程，直上直下，这里就使用开关模拟，这里就不得说单片机的按钮了，如果这么理想就不需要20ms的延迟读取了。

接下来就是加了延迟，为什么？因为大多数时候不是0时刻执行的，对于这个东西无所谓，因为距离和空间都是相对的。

OK，这里其实讲的是一种开关的状态，如果我们考虑效果呢？比如给一个电容充电，这一瞬间让我想起来了刘慈欣的小说，全频道阻塞里面一个电子的感受。总之就是一瞬间，电流的强度非常大。SO？你看，瞬间，就算光速吧？然后电流很大，为啥？因为是时间很小了，一个分式就很大了。也就是信号的幅度很大。我们把强度定位在1的时候称为单位冲激。

现在想冲激信号是不是就合情合理了。

那这个矩形信号的意思就是：最左边，哥来了！，然后持续一段时间，最右边，哥走了！

我认为闭合，就是说明了一次完整的冲激过程，上面说了时间脉冲是短的！！！极限就是时间为0（lim登场），就变成了单位冲激信号。

上面这个信号好像一个门，也叫门函数，可以使用两个阶跃信号来组成，一边一个。

这个叫做符号函数，也可以上面的阶跃信号构成，就好像搭积木一样

这段写的(๑•̀ㅂ•́)و✧，赞

用词考究而装逼，好喜欢，接入特性~

信号微分得到的是冲激信号，这个也好理解，微分是线性近似，求的是值，冲激信号重要的也是幅值。强度=跳变值。

信号呢，可以分解为，直流和交流两种。

这里我说一个例子：

你看这个方方的波，问你直流是多少

我第一次看这个东西，是懵逼的？？？啥？什么直的

事实上，通过定义，求这个时间的均值确实是可以算出来的

我后来反思，可能是因为平时很电子打交道对，先入为主的认为，直流信号就是直的（我不知道在说什么了，希望你懂）

对！还有一个信号可以分为偶和🐔信号，妈的，也不说信号与系统了，高中，大学这个东西没少让你算吧？任意一个函数都可以分解为🐔和偶函数的和。事实上，它的内涵非常的深厚，比如🐔函数天然的告诉你f(0)=0直接就是一个中值定理的条件，然后还有积分画图什么的，以及后面的傅里叶级数：

希望都是🐔函数，都为0，偶函数嘛，滚

害，知识就是这样，铁板一块，我说单独的讲这个单位冲激串吧，确实还总结说不出来，所以就补了这么多的内容。

接下来就可以说单位冲激串了！

它是这样

然后和一个连续的函数一乘，因为这个函数的定义域有个限制：

也就是说，只有0的时候才是有值的，除此之外都没有了

有冲激的地方就有值，这个强度呢就是时序函数f(t)这点的幅值，就是函数值把这个冲激带到更高的地方，没有冲激就为0.

也就是说，信号可以有两种方式，第一种是冲激信号的叠加，一根根的小线顶起来，还有一种是台阶信号的叠加，看见b图飘逸的长发了吗？

现在一个连续的信号就变成了一个冲激强度了。那么这段冲激信号的包络线就是原来的函数，这就是采样过程。

包络就是外面这层的样子

等等！这个东西打碎以后还是原来的东西不？

小伙子不错哦！还能问出这么骚的好问题

先知道什么叫采样率，就字面意思

奈奎斯特频率（英语：Nyquist frequency）是离散信号系统采样频率的一半。

采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率高于被采样信号的最高频率或带宽，就可以避免混叠现象。

这个图就挺好的，你看这个上面，交叉的一些值，这个就是在时域混叠

混叠这个名字挺好的，混是感兴趣的分量分不开，叠是咋混的：

大概就是这样叠的，哈哈哈哈

真的，你就学会这个出去装逼就行，但是吧，二倍在现实中远远不够。

这里就从这本书里面翻吧，大家东西都一样

教材里面一般会有LTI的微分方程描述什么的，哥，先不整这个。

上面我们的离散工作就可以写成这样

这里我们就可以写成这样，任意信号都可以使用冲激信号的组合来表示。

你看这个e其实就是我们要分解的函数，后面这个就会冲激函数，里面有个t在干什么？

还记得上面函数的定义吗？除了0之外的地方就没有值了，所以这个t就平移和挪地方用的，写成f(nT)Q(t-nT)可能更好看一些。每有一个T，f函数有一个值，这个Q也是把0点处的强度移到T位置。

hhhh，不好意思了，我其实写文章是写写Z变换的，没想到才写到卷积。我要不开始Z变换？日后擦个屁股？

OK，愉快的决定了。

什么是Z变换？好问题，你知道什么是拉普拉斯变换吗？怪不得教材要这样设计，没想到我写个文章都跳不了。

傅里叶有两种，一种是级数，一种是变换。级数是针对周期满足收敛条件的变换（有4条，就是说明哪些函数可以被分解）

在形式上面有三角和复数两种，下面是复数形式（我以后补个傅里叶）

就是这样，这个叫傅里叶变换

这个傅里叶变换虽然好用，但是有很多函数分解不了，这些函数普遍都是很“勇”

就是增长太快辣！

比如，f(x）= x,f(x) = x^2,这些，那指数函数就别说了，早他妈看不见了。你说是这么牛逼的工具连这么简单的函数都搞不定？是的，就这么个情况。

后来傅里叶就想了这样一个函数，情况好了一些

比如x的0次方就可以解了，就是带了这样奇怪的函数

单位傅里叶变换

上面的x^2也可以解了

不过。。。看起来不好看，也不直观，哪个年代大家都说不出来这个奇奇怪怪的函数是什么。

拉普拉斯方程听说过没有？没听过也不耽误晚上吃饭：

大哥大概就这样吧

这个变换在现代称为积分变换，以前我不知道。拉普拉斯看了这个函数以后就想，emmmmm，既然是增长太快，可以想办法把它衰减下来。至于为什么是e这样一坨，我还没有研究。

核心思想就是，可以把疯狂增长的函数衰减下来继续傅里叶。

可以看到右边衰减速度很快

一乘，安排上了，别说衰减了，我感觉这函数都快死球了，无穷时候肯定贴地了。注意这里的区间，是0~+♾️。

继续傅里叶变换，不错哦！我这里没截图，没衰以前是个螺线

嗯，不错，不错，有搞头！

然后把这个右面的欧拉旋转盘的旋转频率调整到和衰减系数一样

直接END，就出现了梦寐以求的单瓣图

来化解一下

你看这个红色部分，老演员了

我们给它搞个代换

没有对比就没有伤害，至少直观上面更好用了

对比一下

我们可以直观的给出这样的参数控制

当然啦，这里写的很简单，拉普拉斯变换性质这些没有写，但是我觉得最重要的思想是首先的去领悟。

当然拉普拉斯修改参数值就可以得到傅里叶变换。

不知道你有没有发现，其实上面还是变换的是连续的函数，就是说，有衰减因子，离散版本的拉普拉斯转换还没有着落呢！

Z变换就是有衰减因子，离散版本的拉普拉斯转换。

我最喜欢的书也没有Z变换

安利！

不过令人遗憾的是，Z变换我的领悟并没有很深刻，各位看官可能要失望喽。

这里就是你单看兄弟我一张嘴讲了！

首先上面F里面的S是完整的复数定义，后面就是我们上面打撒的公式，然后乘衰减系数，这里理解没有问题是吧？

然后上面的积分，这里也没有说，这个是卷积积分，离散的话是求和，连续是求积分，是泛函里面的计算，也是广义函数，等我有时间学学。反正就是可以算出来一个值，后面e这个因为就是衰减值，可以直接在积分运算下被保存。

这里单独的讨论最后一项，先不看原来的负号，S就是一个完整的复数，这次展开来计算，T是一个时间项，写完以后，前面的一项A，里面的参数可以控制是不是有衰减。后面这一项使用欧拉公式展开。

也就是说变成了离散的三角波的点

南大的这个PPT里面写的是很好的

这个就是教科书里面的令Z=e^sT的推导，其实就是把连续离散化，以及n是采样频率的意思。

妈耶，写了这么多，不写了，应该是说明白了，但是很多东西你还得自己看书去算去理解，我缺少了很多证明和性质，只能从直观角度告诉你他们的思想而已，最后这也算我阶段性学习的一个总结。