微分方程中为什么e经常出现

今天看到个视频，有点启发，都通了。一文速通微分方程- 我以前写过这个，但是最后一类用的最多的没有写。

先回答问题，因为好多物理现象都可以写成一个常系数的线性微分方程。因为形式很明显的需要一个求导稳定的函数。书上其实是差不多这样说的，但是我就是没哪种理解的感觉。

后来就联想到e的稳定性，带进去求解。细节可以看书，文章就是启发性。

可以看到在书上是把常系数方程单独的放在一个大类

表示一个原始物理量在一个单位时间内增长一倍，同时新增长的量在单位时间内也会进行持续的复合增长。书上老讲什么存钱，我看球不懂，还有好多人说看懂了，不信。

当你的增长量是2倍的时候是什么样的？你看这不就是求极限吗？

同理也可以求这个增长是x的时候是什么样的

没办法，绕不开的。知道有这个东西就行：

我们开始考虑这个问题

我们来颠倒一下，变成了趋于0，接着就是可以把x看作小增量

我们此时可以把e定义成这样

此时用导数定义写

就这样

单独令

对1两边取e的dx次方

得到3

3代入2，化解

这个阻尼系统中，有三个力

合力为0 ，可以写一个方程

RC中

也可以写一个微分方程出来

就是这样

一般是先求0解

这里是最重要的地方，因为y的形式是稳定的，我们就在寻求一个函数，它的n阶导数，以及他们系数之间形式稳定。所以可以设上面的函数的样子出来，代进去。

计算这个

求导打开

提取，美！

我们起名字叫这个东西为特征方程，主要是求a

因为是二元一次方程，也可以写成俩项

第一个是没有重根，最喜欢的一种

这里总结一下

https://www.bilibili.com/video/BV1mavYeXEd2/?spm_id_from=333.880.my_history.page.click&vd_source=4d701f61fa0ceae0a5ab579df26e314c