傅里叶级数-系数求解

唐老师的图是最好的：

一般函数使用n个正交函数的线性组合来表示:

C就是里面的系数

因为只是可以用无穷项的函数项级数来逼近，肯定要遇到收敛的问题，多少项就满足误差了，以及误差如何度量。

这里使用了均方误差 (MSE)通过最大似然MLE推出来的最小无偏估计：

最好的解释就是这样！

至于为什么是平方，是因为里面的两项之间有正有负

方差的公式和这个差不多：

两个的计算公式比较相似，但是统计意义差别很大，一般来说，方差是计算一组数本身的离散程度，而所谓离散，是指每个数据和本组数据的平均值的距离（即差值），因此，方差越大，表示数据本身的离散程度越大。

但是均方误差处理的是回归模型对因变量的预测值，和实际观测的因变量数值的差异，数值大，意味着预测的值越不准确（因为预测值距离观测到的数值很远），表示回归模型不是很靠谱。

这是西瓜书上面的，确实是作为性能度量出现的

另外，飞桨也说了一下

反正公式就是这样的：

也就是说要想这个公式成立，f固定了，看后面这一项，正交函数集动不了，只能看系数，事实上也就是只能看看系数。因此就是对C求偏导。

啊这，早知道不问了

我还有一个大的

好丑的字，其实就是两项展开

序号不同的正交函数相乘的各项，积分为0，要的就是效果。不含Cj的项对Cj求导也是0，因为求偏导，其他项看上去是常数就没了。

重新排列

求导，定积分的性质用起来

重新移动，这个Cj就出来了，这就是系数

也就是这个样子的表示

最后把我们的系数倒进去，看看效果，Cj，Kj两个系数，接着就是到最后一步了。

这玩意儿又叫帕塞瓦尔，能量守恒

这个是一本书上面的定义，Cj也叫傅里叶级数的系数

就是我写的这个东西，里面的Ki

就是函数集的绝对可积

然后傅里叶级数是频域分析的大头

我们的工作还没有完，甚至说，我们的正交函数还没有用到。

我们可以先看一个使用复函数来分解的例子

我字好丑，这里使用了共轭

挺无语的，傅里叶级数都在高数里面扫尾了，那我走？

所有函数构成函数空间，取一些基本的、正交的函数，再定义组合规则。每个具体领域，加法和乘法的含义有所不同。对于函数，类似于乘法的概念是积分。两函数的正交，就是相乘后积分为 0。当 f(x)、t(x) 作为基本函数，这样 k(x) 用两个函数叠加的方式来表示。

k(x) = a f(x) + b t(x)

这时需要求出系数 a 和 b 的。可以两边先乘以 f(x), 得出，

k(x) * f(x) = a f(x) * f(x) + b t(x) * f(x)

当 f(x) 和 t(x) 正交，两边取积分，就可以消去，t(x) * f(x)。这样系数 a 就只会跟 k(x) 和 f(x) 有关系。

k(x) * f(x) = a f(x) * f(x)

还可以有多个函数相互正交，甚至无限多个函数正交。比如选取 cos、sin，作为基本函数，叠加起来表示其它函数，就演变成了傅里叶变换。

牛逼

持续牛逼

但是是相同的时候是Π

反正正弦函数表示的级数是这样的，不知道你有没有奇怪，为什么突然出现了一个A0，这里书上说一般是直流分量，即使是没有任何应用背景的高数书也是这样写的。

这里，那个展开都可以

这里是COS打开的，教科书是SIN

这里积分，a0是这个值

把级数打开，给里面的项重新写一下

a0的求法是俩边积分，就出来了，原函数积分一次用Π除

同样的操作把所有的系数都求出来

这里需要知道一点的就是a0，这个值很怪，为什么是二分之一？

这个是A0

因为A0的系数分母是2Π，为了整齐，提前设置为a0=2A0

大概就是这样吧。。。我都有点糊涂了。a0就是f(t)函数的平均值

所有的向量构成一个空间，而所有的向量是无穷无尽的。一个个向量分别分析也自然没有尽头。这样我们挑选几个相互独立的基本向量，再定义一套组合规则。这样其它的向量，就用基本向量组合起来表示。

于是很自然地产生问题，基本向量是什么？如何才叫相互独立？组合规则是什么？

对于向量空间，组合规则其实就是线性叠加。乘法和加法很基本，不同的领域常常会重新定义类似乘法的概念和类似加法的概念。在线性叠加中，类似乘法的概念，就是向量的内积，当内积为 0 表示两个向量相互独立。

假设 A、B 为基本向量，C 可以用 A、B 叠加起来表示。于是

C = a * A + b * B
两边乘以 B，得到C * B = a * A * B + b * B * B

这里的乘法符号其实是内积，假如 A * B = 0，就可以消去第一项，系数 b 就只和 C 和 B 有关。而当 B * B = 1 时，可以再次简化计算过程。

当将二维向量几何化后，内积为 0，两个向量刚好正交（orthogonal）。另外一个术语就是平行，跟正交对应。平行表示完全相关，正交表示完全不相关，有时会处于平行是正交之间，它们的夹角可以表示相关程度。

当 A * B = 0 ，A、B 正交；B * B = 1，B 标准化，也叫归一化。当正交归一的向量，作为独立的基本向量，线性叠加成其它向量。会使得计算过程大大简化。

这个是复数形式的系数推导，电子书我没有看到

https://zhuanlan.zhihu.com/p/435515042?utm_medium=social&utm_psn=1801584997649502210&utm_source=wechat_session

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https://www.cnblogs.com/clemente/p/11301180.html