大话伊辛模型之一：源起

按语：伊辛模型源起于日常所见的磁铁，后来它却遭受争议不断甚至一度归寂于尘埃；所幸，是金子总会发光，伊辛模型最后乘着新世纪的大风重新掀起研究热潮，这又是怎么一回事呢？

电磁学时代

奥斯特 (图片来源:网络)

关于磁铁和磁性的研究离不开电。1820年，丹麦物理学家奥斯特（Hans Christian Ørsted）在一次讲座中接通电源后竟然发现一旁的小磁针发现了偏转。这一发现使他欣喜不已，因为这一偶然出现的现象印证了此前的说法：不仅电可以生磁，磁也可以生电！这一发现揭开了电磁学的序幕，标志着电磁学时代的到来。

安培(图片来源:网络)

奥斯特将他的发现写成论文公布出来仅一个多月后，法国物理学家安培（André-Marie Ampère）就提出了分子电流假说对此进行了阐释，即认为构成物质的小分子可以像地球那样绕中轴自转，由于带有电荷，这就相当于是一圈电流——根据奥斯特电生磁的理论，应当能产生磁场；这样，物质实际上就由一个个小磁铁构成。这些小磁铁可以想象为我们平常玩的条形磁铁，也具有不同的两极，遵循同极相斥、异极相吸的原理。当外部没有磁场时，物质内部的小磁铁由于温度等其他因素的扰动变得杂乱无章，宏观总磁性相互抵消，所以物质表现为不具有磁性；而外部加上磁场时这些小磁铁就会在这种强有力的力场下调转方向，全部乖乖的沿着磁场方向排列从而使得物质在宏观上产生磁性。

皮埃尔·居里(图片来源:网络)

后来，人们又在实验中发现磁性物质在其温度超过某些值后会“突然”失去磁性，这又是为什么呢？

铁磁性的微观本质

大家都知道著名的诺贝尔获得者，法国的物理学家居里夫人吧，正是她的丈夫皮埃尔·居里（Pierre Curie）于1895年研究发现，磁性物质存在一个“温度点”，只要物质所处环境的温度超过这个值就会使得物质失去磁性。不仅如此，在越过这个点之后物质所属的相区也会发生改变，一般会从铁磁性变为顺磁性。

这里解释一下什么是铁磁性和顺磁性，上面已经说物质可以在磁铁的作用下出现磁性，这个过程就叫“磁化”；磁化的过程会使内部小磁铁重组而产生一个宏观磁场；但是由于物质本身性质不同，磁场的方向与外加磁场方向不一定相同，我们据此把物质分为三类：顺磁性、铁磁性和抗磁性；前两种方向与外部相同而最后一种相反，但铁磁性最终产生的磁性要远大于顺磁性，并且在外部磁场撤去后仍能保留磁场。后来，为了纪念这位伟大的科学家，人们就把这个点（上图中的温度Tc）命名为“居里点”。

铁磁性所对应的微观本质应该是什么样的呢？1920年德国物理学家楞次（Wilhelm Lenz，注意不是发现楞次定律的那个俄国科学家）研究了这个问题并提出了一个理论模型：他认为可以把物质内部想象成一张网格，每个小格子里都分布有一个原子，这个原子用一个简化的箭头表示，箭头方向就代表着该小磁铁的磁场方向（上边提到的安培分子电流假说认为，每个原子都是一个个小磁铁），就像这样：

楞次的网格模型：不同颜色的箭头代表不同磁场方向的原子 (图片来源:网络)

伊辛模型的提出

后来，他的学生伊辛（Ernst Ising）在导师以上模型的基础上提出了一个简化模型，并得到一维物质无法保持磁性的观点：他的模型包括了两种磁性情况；主要是基于海森堡此前提出的有关自旋的模型而建构起来的（海森堡是量子力学有名的奠基人之一；这里提到的自旋起源于两个研究生的假设，后来被实验所证实，它是一种区别于常见坐标变量的新变量，就像质量一样，它也是微观粒子的内禀属性之一）。

恩斯特·伊辛 (图片来源:网络)

这个模型的物理图景是这样的：首先我们物质总是倾向于处在能量最低的状态（能量最小原理），而对铁磁系统来说，原子磁场指向方向相同时彼此之间的相互作用能量会比较小，因而原子之间的相互作用，也就是磁力会倾向于使它们保持同一指向；但温度等扰动却会破坏这一倾向，它倾向于使系统变得杂乱无章，这使得小磁铁们的指向最终很难保持一致，使得最终无法表现出宏观的磁性来。

这个模型就是著名的伊辛模型。

一维和二维伊辛模型(图片来源:网络)

1925 年 Ising 发表了一篇短文，作为他博士论文的总结。他精确地计算了自旋的一维晶格系统的配分函数。伊辛首先证明了在任何温度下都不会在一维上发生向铁磁有序状态的相变。

后来，楞次和伊辛经过简单的推导就认为，这个结论对二维和三维物质同样适用，即它们在任何温度下由于同样的原因均无法表现出磁性。这个模型乍听起来很高大上，考虑到伊辛模型是我们今天的主角，读者可能会认为它应是准确无误的。但是…

关于伊辛模型的争论

但是！

这个模型提出的背景是为了解决磁铁受热过程中关于其微观本质变化的细节问题；但伊辛模型此时似乎未能很好的回答这个问题——三维物质可以表现出磁性，也就是说，伊辛模型的简单外推并不符合铁磁性物质的实际情况。伊辛做了一维模型的求解，但不能简单的直接推广到二维、三维中去。由于涉及的数学过程太复杂，在当时还没有被完整的求解出来。

所以在当时这个模型确实引起了很多争议，以至于在伊辛模型被大量利用的今天，知道伊辛对该模型的贡献的人却寥寥无几。伊辛此后默默留在大学里承担教学任务，他再也没有回到科研中去。尽管争议很大，我们前面提到的海森堡却表明了自己独到的见解：他认为伊辛的成功之处在于：在自己导师所解决的一系列关于铁磁体细节问题的基础上，伊辛提出了两个相邻原子之间的相互作用并不足产生铁磁性的假设。

所以，铁磁性的产生可能还需要别的什么东西？某一种更强的力？相关问题的研究由于数学工具的缺乏而停止了脚步，渐渐的被岁月所遗忘…...

昂萨格 (图片来源:网络)

这个问题再一次“上热搜”始于上世纪40年代理论物理学家昂萨格（Lars Onsager，1968年诺贝尔化学奖获得者）对该问题的重新关注。他把目光放在二维伊辛模型上，决心要以一种更加严谨的方法进行验证，或者证伪。

二维伊辛模型的复杂之处在于，此时对某一个箭头（也就是我们前面提到的原子磁场方向）来说，已不止像一维那样仅有左右相邻箭头的影响，还多了上下相邻箭头的影响，这大大增加了模型的解决难度。但大神就是大神，再难的问题也阻止不了昂萨格的脚步，他用一种鬼斧神工般的、至今也未能被完全理解的所谓“非人类”的数学过程证明了，二维伊辛模型的磁性会随着温度的改变而有所变化（而并非如伊辛所说在任何温度下都不会显现磁性），其在低温情况下温度对系统干扰度相对较小，此时原子之间的相互作用占优势——最终所有原子指向一致；当温度逐渐上升，天平会逐渐倾斜，到达某一个温度值时温度对系统的扰动将占优势，这时系统就不会表现出磁性。

(图片来源:网络)

其实这个结论乍一看与伊辛的导师楞次最初的猜想差不多；只是人家成功的把猜想用数学一步步推导出来了。这个结论表明，我们确实可以用一张二维网格去模型化实际物质，将一个个原子用箭头表示，而无需考虑粒子本身的各种纷繁复杂的属性。

杨振宁和昂萨格(图片来源:网络)

值得一提的是，在对伊辛模型求解所做的贡献中也不乏中国人的身影。

在凝聚态物理中存在各种各样的模型，这些模型并不对系统的具体细节属性有所规定，也就是说，对于两个包含原子不同的系统，当它们运用相同的模型进行计算（当然得满足该模型所规定的前提条件）时，所最终求解的边界条件、临界指数等值应当相等且与理论完全吻合（否则理论要被修正）；二维伊辛模型中同样存在一组临界指数，对这些指数的求解一直是一个重大的研究课题之一：

杨振宁就曾于1952年严格求解出当时由昂萨格在一次国际会议上随手写下却未证明的一个指数；后来，1967年吴大峻等人又成功计算出另一指数。这组指数对标定物质相变具有关键作用。假如相变是一辆车，指数就是其上一个关键零部件；缺少此零部件，这辆车将无法开动。

自此，我们对伊辛模型的历史有了一个基本的了解；后来这个模型的应用范围从铁磁性研究拓展开来，被其他众多学科所应用而大放异彩，甚至在计算机领域、包括人工智能方向发挥自己独有的作用。