在树形结构中,我们最常⽤的就是⼆叉树,⼀棵⼆叉树是结点的⼀个有限集合,该集合由⼀个根结点 加上两棵别称为左⼦树和右⼦树的⼆叉树组成或者为空。
1. ⼆叉树不存在度⼤于 2 的结点 2. ⼆叉树的⼦树有左右之分,次序不能颠倒,因此⼆叉树是有序树
⼀个⼆叉树,如果每⼀个层的结点数都达到最⼤值,则这个⼆叉树就是满⼆叉树。也就是说,如果⼀ 个⼆叉树的层数为 K ,且结点总数是 (2的k次方-1) ,则它就是满⼆叉树。
⼆叉树性质 根据满⼆叉树的特点可知: 1)若规定根结点的层数为 1 ,则⼀棵⾮空⼆叉树的第i层上最多有 (2 的i-1次方 )个结点 2)若规定根结点的层数为 1 ,则深度为 h 的⼆叉树的最⼤结点数是 (2的h次方-1) 3)若规定根结点的层数为 1 ,具有 n 个结点的满⼆叉树的深度 h = log2 (n + 1) ( log 以2为底, n+1 为对数)
1、叶子结点只可能在最大的两层上出现,对任意结点,若其右分支下的子孙最大层次为L,则其左分支下的子孙的最大层次必为L 或 L+1; 2、出于简便起见,完全二叉树通常采用数组而不是链表存储。 3、满二叉树一定是完全二叉树,完全二叉树不一定是满二叉树。 4、完全二叉树第i层至多有2的(i-1)次方个节点,共i层的完全二叉树最多有2的i次方-1个节点。 5、只允许最后一层有空缺结点且空缺在右边,即叶子结点只能在层次最大的两层上出现; 6、对任一结点,如果其右子树的深度为j,则其左子树的深度必为j或j+1。 即度为1的点只有1个或0个。
顺序结构存储就是使⽤数组来存储,⼀般使⽤数组只适合表⽰完全⼆叉树,因为不是完全⼆叉树会有 空间的浪费,完全⼆叉树更适合使⽤顺序结构存储。
⼆叉树的链式存储结构是指,⽤链表来表⽰⼀棵⼆叉树,即⽤链来指⽰元素的逻辑关系。 通常的⽅法 是链表中每个结点由三个域组成,数据域和左右指针域,左右指针分别⽤来给出该结点左孩⼦和右孩 ⼦所在的链结点的存储地址 。
typedef int BTDataType;
// ⼆叉链
typedef struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* left; // 指向当前结点左孩⼦
struct BinTreeNode* right; // 指向当前结点右孩⼦
BTDataType val; // 当前结点值域
}BTNode;
BTNode* BuyBTNode(int val)
{
BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (newnode == NULL)
{
perror("malloc fail");
return NULL;
}
newnode->val = val;
newnode->left = NULL;
newnode->right = NULL;
return newnode;
} //初始化
void BinaryTreeDestory(BTnode** root)//要传二级指针,因为要改变根节点为NULL;而根节点是指针,改变指针需要传二级指针
{
if(*root==NULL)
return;
BinaryTreeDestory(&((*root)->left));
BinaryTreeDestory(&((*root)->right));
free(*root);
*root=NULL;
}
单纯递归是无法解决层序遍历问题的,实现层序遍历需要额外借助数据结构:队列(!!!!!)
// 层序遍历
void LevelOrder(BTNode* root)
{
Queue q;
QueueInit(&q);
QueuePush(&q, root);
while (!QueueEmpty(&q))
{
BTNode* top = QueueFront(&q);
printf("%c ", top->data);
QueuePop(&q);
if (top->_left)
{
QueuePush(&q, top->_left);
}
if (top->_right)
{
QueuePush(&q, top->_right);
}
}
QueueDesTroy(&q);
}
// 判断⼆叉树是否是完全⼆叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
Queue q;
QueueInit(&q);
QueuePush(&q, root);
while (!QueueEmpty(&q))
{
BTNode* top = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
if (top == NULL)
{
break;
}
QueuePush(&q, top->_left);
QueuePush(&q, top->_right);
}
while (!QueueEmpty(&q)) //如果为完全二叉树,只允许最后一层有空缺节点,且在右边,所以最后队列的元素一定只有NULL(可能有好几个NULL)
{
BTNode* top = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
if (top != NULL) //不是NULL,一定不是完全二叉树
{
QueueDesTroy(&q);
return false;
}
}
QueueDesTroy(&q);
return true;
}
⼆叉树的操作离不开树的遍历,我们先来看看⼆叉树的遍历有哪些⽅式
1)前序遍历(PreorderTraversal亦称先序遍历):访问根结点的操作发⽣在遍历其左右⼦树之前 访问顺序为:根结点、左⼦树、右⼦树 2)中序遍历(InorderTraversal):访问根结点的操作发⽣在遍历其左右⼦树之中(间) 访问顺序为:左⼦树、根结点、右⼦树 3)后序遍历(PostorderTraversal):访问根结点的操作发⽣在遍历其左右⼦树之后 访问顺序为:左⼦树、右⼦树、根结点
void PreOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
printf("%d ", root->val);
PreOrder(root->left);
PreOrder(root->right);
}
void InOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
InOrder(root->left);
printf("%d ", root->val);
InOrder(root->right);
}
void PostOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
InOrder(root->left);
InOrder(root->right);
printf("%d ", root->val);
}
图解遍历:
以前序遍历为例:
函数递归栈帧图: