【数据结构】树与二叉树

前言 本篇博客我们进入数据结构中树的章程，树是非线性表，前面我们总结的什么栈呀，队列呀，链表呀都是线性结构，那这回就来好好认识下树以及树中的特殊结构——二叉树 💓 个人主页：小张同学zkf ⏩ 文章专栏：数据结构 有问题 评论区见📝 🎉欢迎大家点赞👍收藏⭐文章

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。

1.有一个 特殊的结点，称为根结点 ，根结点没有前驱结点 2.除根结点外， 其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 …… 、 Tm ，其中每一个集合 Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继。 3.因此，树是递归定义 的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构 ，就不是树，若有交集是图（在之后C++博客中会总结 ）

以上都不是树

1.2树的相关概念

根据图来看概念

结点的度 ：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度； 如上图： A 的为 6 叶结点或终端结点： 度为 0 的结点称为叶结点； 如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等结点为叶结点 非终端结点或分支结点： 度不为 0 的结点； 如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等结点为分支结点 双亲结点或父结点： 若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图： A 是 B 的父结点 孩子结点或子结点： 一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图： B 是 A 的孩子结点 兄弟结点： 具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图： B 、 C 是兄弟结点 树的度： 一棵树中，最大的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为 6 结点的层次： 从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推； 树的高度或深度： 树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为 4 堂兄弟结点： 双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟结点 结点的祖先： 从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先 子孙： 以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙 森林： 由 m （ m>0 ）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了， 既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系 ，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法 。

typedef int DataType ; struct Node { struct Node * firstChild1 ; // 第一个孩子结点 struct Node * pNextBrother ; // 指向其下一个兄弟结点 DataType data ; // 结点中的数据域 };

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树概念及结构

2.1二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合 :

1. 或者为空 2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

1. 二叉树不存在度大于 2 的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

注意上图的空树和只有根节点都是二叉树

让我们来观摩下现实中的二叉树

2.2特殊的二叉树

1. 满二叉树 ：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K ，且结点总数是2^k-1，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树 ：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的 第 i 层上最多有2^(i-1)个结点.

2. 若规定根结点的层数为 1 ，则 深度为 h 的二叉树的最大结点数是2^h-1

3. 对任何一棵二叉树 , 如果度为 0 其叶结点个数为n0 , 度为 2 的分支结点个数为n2 , 则有n0 ＝n2 ＋ 1

4. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从 0 开始编号，则对于序号为i 的结点有：

1. 若 i>0 ， i 位置结点的双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根结点编号，无双亲结点

2. 若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ， 2i+1>=n 否则无左孩子

3. 若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ， 2i+2>=n 否则无右孩子

2.4二叉树的存储结构

分为链式储存和顺序储存

顺序结构存储就是使用 数组来存储 ，一般使用数组 只适合表示完全二叉树 ，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。关于堆下一篇博客再总结，二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

二叉树的链式存储结构是指用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链。

结束语 本篇博客先到这里，我们先初步了解一下二叉树有关知识，下篇博客我们来仔细说一下二叉树中堆的结构 OK，本篇博客结束！！！