线性代数之行列式、矩阵和向量组

第一部分 行列式

【主要内容】

1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则

2、排列与逆序

3、方阵的行列式

4、几个重要公式：

（其中 为 n阶方阵，k 为常数）

5、行列式的常见计算方法：

（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；

（2）利用行列式的展开定理降阶；

（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值

（4）按行展开

（5）递推公式和数学归纳法

代码示例

import numpy as np

# 定义一个3x3的矩阵
matrix = np.array([[1, 2, 3],
                   [0, 1, 4],
                   [5, 6, 0]])

print("Matrix:")
print(matrix)

# 计算矩阵的行列式
determinant = np.linalg.det(matrix)

print("\nDeterminant of the matrix:")
print(determinant)

【要求】

1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。 2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。 3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值（按行展开）。 4、会计算简单的n阶行列式。 5、知道并会用克莱姆法则。

第二部分 矩阵

【主要内容】

1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。 2、方阵的行列式 3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。 4、 下列说法都是相通的：

5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。 6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法） 7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。

【要求】

1、了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。 2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。 3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。 4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。 5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。 6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵

第三部分 向量组的线性相关性

【主要内容】

1、线性表示 向量、向量组的线性表示：设有单个向量b，向量组A ,向量组 B。

2、如何判断 向量 b或向量组 B是否可由向量组A 线性表示？如果能，写出表达式。 解法：以向量组A以及向量b或向量组B:为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。 3、方法 向量组的线性相关性 判别向量组的线性相关、线性无关的常用方法需要记住：

4、极大无关组概念 向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）及其求法。 基本题型：判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。 5、等价 等价向量组的定义、性质、判定。 向量组的秩与矩阵的秩之关系。

【要求】

1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。 2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。 3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。 4、了解向量空间及其基和维数的概念

自己总结和板书，如有错误，还请指正，谢谢。