【C++】AVL树

用户11290673

发布于 2024-11-26 14:12:12

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1. AVL的概念

AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的二叉搜索树：它的

左右⼦树都是AV树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索二叉树，

通过控制⾼度差去控制平衡。

AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962

年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何

结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，

AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，

就像⼀个⻛向标⼀样。

思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法作为⾼度差是0

AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在，那么增删查改的效率也可

以控制在，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升

2.AVL树的实现

2.1AVL树的结构

template < class K , class V > struct AVLTreeNode { // 需要 parent 指针，后续更新平衡因⼦可以看到 pair<K, V> _kv; AVLTreeNode<K, V>* _left; AVLTreeNode<K, V>* _right; AVLTreeNode<K, V>* _parent; int _bf; // balance factor AVLTreeNode ( const pair<K, V>& kv) :_kv(kv) , _left( nullptr ) , _right( nullptr ) , _parent( nullptr ) ,_bf( 0 ) {} }; template < class K , class V > class AVLTree { typedef AVLTreeNode<K, V> Node; public : //... private : Node* _root = nullptr ; };

2.2AVL树的插入

2.2.1AVL树插插入一个值的大概过程

1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。

2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。

3. 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束

4. 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

2.2.2平衡因⼦更新

更新原则：

• 平衡因⼦ = 右⼦树⾼度-左⼦树⾼度

• 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。

• 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在

parent的左⼦树，parent平衡因⼦--

• parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停⽌条件：

• 更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前

parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会

影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。

• 更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响arent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。

• 更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。

更新到10结点，平衡因⼦为2，10所在的⼦树已经不平衡，需要旋转处理

更新到中间结点，3为根的⼦树⾼度不变，不会影响上⼀层，更新结束

最坏更新到根停⽌

2.2.3插⼊结点及更新平衡因⼦的代码实现

1 bool Insert ( const pair<K, V>& kv) 2 { 3 if (_root == nullptr ) 4 { 5 _root = new Node (kv); 6 return true ; 7 } 8 9 Node* parent = nullptr ; 10 Node* cur = _root; 11 while (cur) 12 { 13 if (cur->_kv.first < kv.first) 14 { 15 parent = cur; 16 cur = cur->_right; 17 } 18 else if (cur->_kv.first > kv.first) 19 { 20 parent = cur; 21 cur = cur->_left; 22 } 23 else 24 { 25 return false ; 26 } 27 } 28 29 cur = new Node (kv); 30 if (parent->_kv.first < kv.first) 31 { 32 parent->_right = cur; 33 } 34 else 35 { 36 parent->_left = cur; 37 } 38 cur->_parent = parent; 39 40 // 更新平衡因⼦ 41 while (parent) 42 { 43 // 更新平衡因⼦ 44 if (cur == parent->_left) 45 parent->_bf--; 46 else 47 parent->_bf++; 48 49 if (parent->_bf == 0 ) 50 { 51 // 更新结束 52 break ; 53 } 54 else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1 ) 55 { 56 // 继续往上更新 57 cur = parent; 58 parent = parent->_parent; 59 } 60 else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2 ) 61 { 62 // 不平衡了，旋转处理 63 break ; 64 } 65 else 66 { 67 assert ( false ); 68 } 69 } 70 71 return true ; 72 }

2.3旋转

2.3.1旋转的原则

1. 保持搜索树的规则

2. 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

说明：下⾯的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这⾥是为了⽅便讲解，实际中是什么值都可以，只要⼤⼩关系符合搜索树的规则即可。

2.3.2右单旋

• 本图1展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要

求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，

是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/

图5进⾏了详细描述。

• 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平

衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要

往右边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核⼼步骤，因为5 < b⼦树的值 < 10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原

则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

2.3.3右单旋代码实现

void RotateR (Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; // 需要注意除了要修改孩⼦指针指向，还是修改⽗亲 parent->_left = subLR; if (subLR) subLR->_parent = parent; Node* parentParent = parent->_parent; subL->_right = parent; parent->_parent = subL; // parent 有可能是整棵树的根，也可能是局部的⼦树 // 如果是整棵树的根，要修改 _root // 如果是局部的指针要跟上⼀层链接 if (parentParent == nullptr ) { _root = subL; subL->_parent = nullptr ; } else { if (parent == parentParent->_left) { parentParent->_left = subL; } else { parentParent->_right = subL; } subL->_parent = parentParent; } parent->_bf = subL->_bf = 0 ; }

2.3.4左单旋

• 本图6展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要

求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，

是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上⾯左旋类

似。

• 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平

衡因⼦从1变成2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太⾼了，需要往

左边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核⼼步骤，因为10 < b⼦树的值 < 15，将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

2.3.5左单旋代码实现

1 void RotateL (Node* parent) 2 { 3 Node* subR = parent->_right; 4 Node* subRL = subR->_left; 5 6 parent->_right = subRL; 7 if (subRL) 8 subRL->_parent = parent; 9 10 Node* parentParent = parent->_parent; 11 12 subR->_left = parent; 13 parent->_parent = subR; 14 15 if (parentParent == nullptr ) 16 { 17 _root = subR; 18 subR->_parent = nullptr ; 19 } 20 else 21 { 22 if (parent == parentParent->_left) 23 { 24 parentParent->_left = subR; 25 } 26 else 27 { 28 parentParent->_right = subR; 29 } 30 31 subR->_parent = parentParent; 32 } 33 34 parent->_bf = subR->_bf = 0 ; 35 }

2.3.6左右双旋

通过图7和图8可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

图7和图8分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL

⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为

我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置

不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。

• 场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。

• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋

转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。

2.3.7左右双旋代码实现

void RotateLR (Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; int bf = subLR->_bf; RotateL (parent->_left); RotateR (parent); if (bf == 0 ) { subL->_bf = 0 ; subLR->_bf = 0 ; parent->_bf = 0 ; } else if (bf == -1 ) { subL->_bf = 0 ; subLR->_bf = 0 ; parent->_bf = 1 ; } else if (bf == 1 ) { subL->_bf = -1 ; subLR->_bf = 0 ; parent->_bf = 0 ; } else { assert ( false ); } }

2.3.8右左双旋

跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的

细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单

旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通

过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因

⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。

• 场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。

• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋

转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。

2.3.9右左双旋代码实现

1 void RotateRL (Node* parent) 2 { 3 Node* subR = parent->_right; 4 Node* subRL = subR->_left; 5 int bf = subRL->_bf; 6 7 RotateR (parent->_right); 8 RotateL (parent); 9 10 if (bf == 0 ) 11 { 12 subR->_bf = 0 ; 13 subRL->_bf = 0 ; 14 parent->_bf = 0 ; 15 } 16 else if (bf == 1 ) 17 { 18 subR->_bf = 0 ; 19 subRL->_bf = 0 ; 20 parent->_bf = -1 ; 21 } 22 else if (bf == -1 ) 23 { 24 subR->_bf = 1 ; 25 subRL->_bf = 0 ; 26 parent->_bf = 0 ; 27 } 28 else 29 { 30 assert ( false ); 31 } 32 }

2.4AVL树的查找

那⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)

1 Node* Find ( const K& key) 2 { 3 Node* cur = _root; 4 while (cur) 5 { 6 if (cur->_kv.first < key) 7 { 8 cur = cur->_right; 9 } 10 else if (cur->_kv.first > key) 11 { 12 cur = cur->_left; 13 } 14 else 15 { 16 return cur; 17 } 18 } 19 20 return nullptr ; 21 }

2.5AVL树平衡检测

我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右⼦树⾼度差的的程序进⾏反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因⼦更新是否出现了问题。

1 int _Height(Node* root) 2 { 3 if (root == nullptr ) 4 return 0 ; 5 6 int leftHeight = _Height(root->_left); 7 int rightHeight = _Height(root->_right); 8 9 return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1 ; 10 } 11 12 bool _IsBalanceTree(Node* root) 13 { 14 // 空树也是 AVL 树 15 if ( nullptr == root) 16 return true ; 17 18 // 计算 pRoot 结点的平衡因⼦：即 pRoot 左右⼦树的⾼度差 19 int leftHeight = _Height(root->_left); 20 int rightHeight = _Height(root->_right); 21 int diff = rightHeight - leftHeight; 22 23 // 如果计算出的平衡因⼦与 pRoot 的平衡因⼦不相等，或者 24 // pRoot 平衡因⼦的绝对值超过 1 ，则⼀定不是 AVL 树 25 if ( abs (diff) >= 2 ) 26 { 27 cout << root->_kv.first << " ⾼度差异常 " << endl; 28 return false ; 29 } 30 31 if (root->_bf != diff) 32 { 33 cout << root->_kv.first << " 平衡因⼦异常 " << endl; 34 return false ; 35 } 36 37 // pRoot 的左和右如果都是 AVL 树，则该树⼀定是 AVL 树 38 return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right); 39 } 40 41 // 测试代码 42 void TestAVLTree1 () 43 { 44 AVLTree< int , int > t; 45 // 常规的测试⽤例 46 //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 }; 47 // 特殊的带有双旋场景的测试⽤例 48 int a[] = { 4 , 2 , 6 , 1 , 3 , 5 , 15 , 7 , 16 , 14 }; 49 for ( auto e : a) 50 { 51 t. Insert ({ e, e }); 52 } 53 54 t. InOrder (); 55 cout << t. IsBalanceTree () << endl; 56 } 57 58 // 插⼊⼀堆随机值，测试平衡，顺便测试⼀下⾼度和性能等 59 void TestAVLTree2 () 60 { 61 const int N = 100000 ; 62 vector< int > v; 63 v. reserve (N); 64 srand ( time ( 0 )); 65 66 for ( size_t i = 0 ; i < N; i++) 67 { 68 v. push_back ( rand ()+i); 69 } 70 71 size_t begin2 = clock (); 72 AVLTree< int , int > t; 73 for ( auto e : v) 74 { 75 t. Insert ( make_pair (e, e)); 76 } 77 size_t end2 = clock (); 78 79 cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl; 80 cout << t. IsBalanceTree () << endl; 81 82 cout << "Height:" << t. Height () << endl; 83 cout << "Size:" << t. Size () << endl; 84 85 size_t begin1 = clock (); 86 // 确定在的值 87 /*for (auto e : v) 88 { 89 t.Find(e); 90 }*/ 91 92 // 随机值 93 for ( size_t i = 0 ; i < N; i++) 94 { 95 t. Find (( rand () + i)); 96 } 97 98 size_t end1 = clock (); 99 100 cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl; 101 }