引人关注的领域 ---- 信号稀疏表示

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引人关注的领域 ---- 信号稀疏表示

1 信号稀疏表示的介绍

数学变换会追求所谓稀疏表示(sparse representation），即如何通过最小数量的系数尽可能更多的描述信号的能量。不同类型的信号，其在不同变换下系数的分布会不同。

信号稀疏表示的目的就是在给定的超完备字典中用尽可能少的原子来表示信号，可以获得信号更为简洁的表示方式，从而使我们更容易地获取信号中所蕴含的信息，更方便进一步对信号进行加工处理，如压缩、编码等。信号稀疏表示方向的研究热点主要集中在稀疏分解算法、超完备原子字典、和稀疏表示的应用等方面。

2 稀疏表示的主要任务

信号稀疏表示的两大主要任务就是字典的生成和信号的稀疏分解，对于字典的选择，一般有分析字典和学习字典两大类。常用的分析字典有小波字典、超完备DCT字典和曲波字典等，用分析字典进行信号的稀疏表示时，虽然简单易实现，但信号的表达形式单一且不具备自适应性；反之，学习字典的自适应能力强，能够更好的适应不同的图像数据

3 稀疏表示模型

现有稀疏表示模型一般形式如下：

X=argmin||y-Dx||k+λ||x||

其中，y 为观测数据， D 为字典， x 为待估稀疏向量， λ 为正则参数， k （1≤ k<2 ）为稀疏度量。其中，λ 与 k 未知， 需要预先确定（ 虽然通常取 k =1 ， 但 k <1 时模型更加灵活）。对该模型的理论研究， 主要包括模型解与 l0 范数最小化解的逼近程度、 稀疏表示模型解的唯一性与稳定性等。但是， 在一些具体的应用如图像增强与测控资源优化配置中， 稀疏度量并不是唯一且最重要的指标。

4 字典学习算法

最初在稀疏表示研究领域， 一般假定字典已知， 仅求解未知稀疏向量。现已有学者研究字典的选择与学习方法用于字典未知的情况。现有的字典学习方法可分为两种类型： 基于训练样本与基于参数化字典 。其中， 后者较为困难， 需深入分析所研究的信号的特点与描述方法。对字典学习的过程一般采用两步法， 与稀疏表示模型求解相结合。

5 信号稀疏表示应用

目前，稀疏表示的应用范围基本为自然信号形成的图像、音频以及文本等， 对于非自然信号或数据的应用尚未有文献涉及。在应用方面， 可大体划分为两类：

5.1 基于重构的应用

此类应 用 有 图 像 去 噪、 压 缩 与 超 分 辨 、S A R 成像 、 缺失图像重构 以及音频修复 等。这些应用主要将目标的特征用若干参数来表示， 这些特征构成稀疏向量， 利用稀疏表示方法得到稀疏向量， 根据数学模型进行数据或图像重构。在这些应用中， 观测数据一般含有噪声。

5.2 基于分类的应用

这类应用的本质是模式识别 ， 将表征对象主要的或本质的特征构造稀疏向量， 这些特征具有类间的强区分性。利用稀疏表示方法得到这些特征的值， 并根据稀疏向量与某类标准值的距离， 或稀疏向量间的距离判别完成模式识别或分类过程， 例如盲源分离、 音乐表示与分类、 人脸识别 、文本检测。

5.3 信号稀疏实际应用领域

稀疏表示研究的热点包括模型的近似表示、模型解的唯一性与稳定性、稀 疏 表 示 的 性 能 分 析、模 型 求 解 算法 、字典学习算法、稀疏分解算法、超完备原子字典、 稀疏表示的具体应用以及紧密联系的压缩传感 等方面。其中，具体的应用包括： 图像处理（ 如压缩、 增强与超分辨） 、音频处理（ 如盲源分离） 与模式识别（ 如人脸与手势识别） 等。从实用角度看，具有针对性的灵活模型、 计算速度、 自适应以及高性能表示结果是稀疏表示方法在应用领域发挥其优势的关键问题。

以下是稀疏表示在图像处理领域的应用的几个方面：

图像去噪、人脸识别、目标跟踪、压缩感知

6 奈奎斯特定理

在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5～10倍；采样定理又称奈奎斯特定理。采样定理是美国电信工程师H.奈奎斯特在1928年提出的，采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。

参考：人机与认知实验室 《什么是稀疏表示？》

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