用一条多项式曲线完全拟合平面上的n个不同点

很多机器学习课程刚开始就会提及这个问题：用一条多项式曲线完全拟合平面上的n个不同点（不考虑过拟合的情况），这样的曲线是否存在，次数是多少？

转化成线性代数里的问题：

设平面上n个不同点的坐标为：(x_1, y_1)...(x_n, y_n)

多项式函数的参数表达为：f(x) = \theta_0 + \theta_1x^1 + ... + \theta_{n-1}x^{n-1}

把n个不同点的坐标值代入函数f(x) ，则得到n个未知数\theta_i ，n个方程的线性方程组，把线性方程组的参数写成矩阵形式（此时x_i 是已知数）：

由于x_i 均不相同，所以是一个Vandermonde矩阵，其行列式不为0，可逆，得到线性方程组的唯一解。因此得到以下结论：

平面上任意n个不同的点，一定可以找到次数为n-1的多项式函数经过这n个点。