# 人工智能之数学基础 微积分

第四章 积分应用


***

# 前言

积分是微积分的两大支柱之一，与导数互为逆运算。**定积分**不仅用于计算面积、体积，更是**概率论中累积分布函数（CDF）的核心工具**。本文系统讲解**不定积分、定积分、微积分基本定理、数值积分方法**，并重点展示其在**连续型概率分布（如正态分布、指数分布）中的应用**，配套完整的 **Python（SciPy / NumPy / Matplotlib / SymPy）代码实现与可视化**。

***

# 一、积分基础概念

## 1. 不定积分（Indefinite Integral）

*   定义：函数 $f(x)$ 的**原函数族**（反导数）
    $$
    \int f(x) \, dx = F(x) + C, \quad \text{其中 } F'(x) = f(x)
    $$
*   例：$\int 2x \, dx = x^2 + C$

### 2. 定积分（Definite Integral）

*   定义（黎曼和）：
    $$
    \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x
    $$
*   几何意义：曲线 $y = f(x)$ 与 $x$-轴在 $[a, b]$ 间围成的**有向面积**

***

# 二、微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）

> **连接微分与积分的桥梁**

若 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $F$ 是 $f$ 的一个原函数，则：

$$
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$

✅ 这使得**定积分可通过求原函数计算**，无需极限求和。

***

# 三、积分在概率论中的核心作用

对**连续型随机变量** ( X )，其概率由**概率密度函数（PDF）** ( f\_X(x) ) 描述：

*   **概率 = PDF 在区间上的定积分**
    $$
    P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(x) \, dx
    $$
*   **累积分布函数（CDF）** 定义为：
    $$
    F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) \, dt
    $$

> 🔑 因此，**CDF 就是 PDF 的定积分（从 $-\infty$ 到 $x$）**

***

# 四、常见连续分布的积分应用

## 1. 正态分布（高斯分布）

*   PDF：$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$
*   CDF：无初等函数表达式！需用**误差函数（erf）** 或**数值积分**

$$
F(x) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x - \mu}{\sigma \sqrt{2}} \right) \right]
$$

## 2. 指数分布

*   PDF：$f(x) = \lambda e^{-\lambda x},\ x \geq 0$
*   CDF（可解析积分）：
    $$
    F(x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t} dt = 1 - e^{-\lambda x}
    $$

## 3. 均匀分布

*   PDF：$f(x) = \frac{1}{b - a},\ a \leq x \leq b$
*   CDF：
    $$
    F(x) = \begin{cases}
    0 & x < a \\
    \frac{x - a}{b - a} & a \leq x \leq b \\
    1 & x > b
    \end{cases}
    $$

***

# 五、Python 代码实现

## 1. 导入库

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import integrate
from scipy.stats import norm, expon, uniform
import sympy as sp

# 设置绘图风格
plt.rcParams['figure.figsize'] = (10, 5)
```

***

## 2. 符号积分（SymPy）

```python
x = sp.symbols('x')

# 不定积分
expr1 = sp.exp(-x)
indef_int = sp.integrate(expr1, x)
print("∫ e⁻ˣ dx =", indef_int)

# 定积分：指数分布 CDF
lam = sp.symbols('λ', positive=True)
pdf_exp = lam * sp.exp(-lam * x)
cdf_exp = sp.integrate(pdf_exp, (x, 0, x))  # 从 0 到 x
print("指数分布 CDF =", cdf_exp)

# 正态分布：无法解析积分
pdf_norm = (1/sp.sqrt(2*sp.pi)) * sp.exp(-x**2 / 2)
try:
    cdf_norm = sp.integrate(pdf_norm, (x, -sp.oo, x))
    print("标准正态 CDF =", cdf_norm)
except Exception as e:
    print("正态分布无初等原函数 → 需数值方法或 erf")
```

***

## 3. 数值积分：计算概率

#### 场景：计算 $P(1 \leq X \leq 2)$，其中 $X \sim \mathcal {N}(0, 1)$

```python
# 方法1：使用 scipy.stats（推荐）
prob1 = norm.cdf(2) - norm.cdf(1)
print(f"P(1 ≤ X ≤ 2) via CDF: {prob1:.6f}")

# 方法2：直接数值积分 PDF
result, error = integrate.quad(norm.pdf, 1, 2)
print(f"P(1 ≤ X ≤ 2) via quad(): {result:.6f} ± {error:.2e}")

# 方法3：蒙特卡洛模拟（验证）
np.random.seed(42)
samples = np.random.normal(0, 1, size=1000000)
prob_mc = np.mean((samples >= 1) & (samples <= 2))
print(f"P(1 ≤ X ≤ 2) via Monte Carlo: {prob_mc:.6f}")
```

输出：

    P(1 ≤ X ≤ 2) via CDF: 0.135905
    P(1 ≤ X ≤ 2) via quad(): 0.135905 ± 1.51e-15
    P(1 ≤ X ≤ 2) via Monte Carlo: 0.135872

***

## 4. 可视化：PDF 与 CDF

```python
x_vals = np.linspace(-4, 4, 400)

# 正态分布
pdf_vals = norm.pdf(x_vals)
cdf_vals = norm.cdf(x_vals)

plt.figure(figsize=(12, 4))

# PDF + 阴影区域
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x_vals, pdf_vals, 'b-', label='PDF')
# 阴影 P(1 ≤ X ≤ 2)
x_fill = np.linspace(1, 2, 100)
plt.fill_between(x_fill, norm.pdf(x_fill), color='orange', alpha=0.5, label='P(1≤X≤2)')
plt.title('概率密度函数（PDF）')
plt.xlabel('x'); plt.ylabel('f(x)')
plt.legend(); plt.grid(True)

# CDF
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x_vals, cdf_vals, 'r-', label='CDF')
plt.axvline(1, color='gray', linestyle='--')
plt.axvline(2, color='gray', linestyle='--')
plt.scatter([1, 2], [norm.cdf(1), norm.cdf(2)], color='red')
plt.title('累积分布函数（CDF）')
plt.xlabel('x'); plt.ylabel('F(x)')
plt.legend(); plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()
```

> 📊 左图：概率 = 曲线下面积；右图：CDF 差值 = 区间概率。

***

## 5. 自定义分布：数值积分求 CDF

假设 PDF 为 $f(x) = \frac{3}{4}(1 - x^2),\ -1 \leq x \leq 1$

```python
def custom_pdf(x):
    return 0.75 * (1 - x**2) * ((x >= -1) & (x <= 1))

# 验证归一化：∫ f(x) dx = 1
total_prob, _ = integrate.quad(custom_pdf, -1, 1)
print(f"总概率（应为1）: {total_prob:.6f}")

# 计算 CDF 函数（数值积分）
def custom_cdf(x):
    if x < -1:
        return 0.0
    elif x > 1:
        return 1.0
    else:
        result, _ = integrate.quad(custom_pdf, -1, x)
        return result

# 向量化
custom_cdf_vec = np.vectorize(custom_cdf)

x_plot = np.linspace(-2, 2, 400)
pdf_plot = custom_pdf(x_plot)
cdf_plot = custom_cdf_vec(x_plot)

plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x_plot, pdf_plot, 'b-')
plt.title('自定义 PDF')
plt.grid(True)

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x_plot, cdf_plot, 'r-')
plt.title('自定义 CDF（数值积分）')
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()
```

***

## 6. 多重积分：联合概率（二维正态分布）

计算 $P(X \leq 0, Y \leq 0)$ 对于标准二维正态分布（独立）

```python
from scipy.stats import multivariate_normal

# 联合 PDF
mean = [0, 0]
cov = [[1, 0], [0, 1]]  # 独立
rv = multivariate_normal(mean, cov)

# 方法1：直接使用 CDF（scipy 支持）
prob_joint = rv.cdf([0, 0])
print(f"P(X≤0, Y≤0) = {prob_joint:.6f} （应为 0.25）")

# 方法2：双重数值积分
def joint_pdf(y, x):  # 注意 integrate.dblquad 顺序
    return rv.pdf([x, y])

result2d, err2d = integrate.dblquad(
    joint_pdf,
    -np.inf, 0,   # x 从 -∞ 到 0
    lambda x: -np.inf, lambda x: 0  # y 从 -∞ 到 0
)
print(f"双重积分结果: {result2d:.6f} ± {err2d:.2e}")
```

***

## 7. 积分技巧：换元法与分部积分（SymPy 示例）

```python
# 换元法：∫ 2x cos(x²) dx
expr_sub = 2*x * sp.cos(x**2)
int_sub = sp.integrate(expr_sub, x)
print("换元法示例:", int_sub)  # sin(x²) + C

# 分部积分：∫ x e^x dx
expr_part = x * sp.exp(x)
int_part = sp.integrate(expr_part, x)
print("分部积分示例:", int_part)  # (x - 1)e^x + C
```

***

# 六、数值积分方法简介

当无法解析积分时，常用数值方法：

| 方法             | 原理        | Python 函数                  |
| -------------- | --------- | -------------------------- |
| **梯形法则**       | 用梯形近似曲边梯形 | `np.trapz`                 |
| **辛普森法则**      | 用抛物线近似    | `scipy.integrate.simps`    |
| **自适应高斯-克朗罗德** | 自动调整精度    | `scipy.integrate.quad`（默认） |

```python
# 比较不同数值积分方法
x_fine = np.linspace(0, 2, 1000)
y_fine = norm.pdf(x_fine)

trapz_result = np.trapz(y_fine, x_fine)
simps_result = integrate.simps(y_fine, x_fine)
quad_result, _ = integrate.quad(norm.pdf, 0, 2)

print(f"梯形法则: {trapz_result:.6f}")
print(f"辛普森法则: {simps_result:.6f}")
print(f"quad()（高精度）: {quad_result:.6f}")
```

***

# 七、总结：积分在概率中的核心地位

| 概念      | 数学表达                                       | Python 实现                                                 |
| ------- | ------------------------------------------ | --------------------------------------------------------- |
| **概率**  | $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx$    | `integrate.quad(pdf, a, b)`                               |
| **CDF** | $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt$          | `dist.cdf(x)`                                             |
| **期望**  | $\mathbb{E}[X] = \int x f(x) dx $          | `dist.mean()` 或 `integrate.quad(lambda x: x*pdf(x), ...)` |
| **方差**  | $\text{Var}(X) = \int (x - \mu)^2 f(x) dx$ | `dist.var()`                                              |

> 💡 **关键洞见**：
>
> *   **所有连续概率计算本质都是定积分**；
> *   正态分布等重要分布的 CDF 无初等表达式，依赖**特殊函数（erf）或数值积分**；
> *   SciPy 的 `scipy.stats` 封装了常见分布的 PDF/CDF/数值积分，**优先使用**；
> *   自定义分布时，可用 `integrate.quad` 构建 CDF。

掌握积分，**从概率密度到实际概率**，为统计推断、机器学习（如变分推断）、金融工程等打下坚实基础。

# 后续

python过渡项目部分代码已经上传至gitee，后续会逐步更新。

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人工智能之数学基础 微积分：第四章 积分应用

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