# 差分

以空间换时间

d\[i\] = a\[i\]-a\[i-1\]

\->

d\[i\]+=a\[i\];

d\[i+1\]-=a\[i\];

# ⼀维差分

## 1，题目

![](https://developer.qcloudimg.com/http-save/yehe-12792954/5b1185d50ff27bc044a381fdaaa3d089.png)

## 2，链接

[https://ac.nowcoder.com/acm/problem/226303](https://ac.nowcoder.com/acm/problem/226303 "https://ac.nowcoder.com/acm/problem/226303")

## 3，解析

因为中间添加数字一样，所以用差分数组

每次循环只需要

d\[l\] += k;

d\[r+1\] -= k;

最后还原数组

d\[i\] = d\[i-1\]+d\[i\];

## 4，代码

```cpp
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+8;
ll a[N],d[N];
int main(){
    int n,m; cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        cin >> a[i];
        d[i] += a[i];
        d[i+1] -=a[i];
    }
    while(m--){
        int l,r,k; cin >> l >> r >> k;
        d[l]+=k;
        d[r+1]-=k;
    }
    for(int i = 1;i<= n;i++){
        d[i] = d[i-1]+d[i];
        cout << d[i] << " ";
    }
    return 0;
}
```

# 海底⾼铁

## 1，题目

## ![](https://developer.qcloudimg.com/http-save/yehe-12792954/8078bf930bbcb89db493e27d49e4f2f7.png)  
![](https://developer.qcloudimg.com/http-save/yehe-12792954/7ccd7d8608a96b083ffb6057ce964e9a.png)

## 2，链接

[https://www.luogu.com.cn/problem/P3406](https://www.luogu.com.cn/problem/P3406 "https://www.luogu.com.cn/problem/P3406")

##   
3，解析

    1，单条路径：min(a\*d\[i\],c+b\*d\[i\])

    2,一段路走多少次：

       相当于\[l,r\]中间每个数字加1

        ->差分

##   
4，代码

```cpp
#include<iostream>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int N = 1e5+8;
int d[N];
int main(){
    int n,m; cin >> n >>m;
    int x; cin >> x;
    for(int i = 2;i <= m;i++){
        int y; cin >> y;
        if(x >y){
            d[y]++;
            d[x]--;
        }
        else{
            d[x]++;
            d[y]--;
        }
        x = y;
    }
    for(int i = 1;i <=n;i++) d[i] += d[i-1];
    ll ret = 0;
    for(int i = 1;i <n;i++){
        ll a,b,c; cin >> a >> b >> c;
        ret += min(a*d[i],c+b*d[i]);
    }
    cout << ret << endl;
    return 0;
}
```

# 二维差分

## 1，题目

## ![](https://developer.qcloudimg.com/http-save/yehe-12792954/41bf18ab3bb30e23ee138d9aff1a50b6.png)  
![](https://developer.qcloudimg.com/http-save/yehe-12792954/69910cc485d17ac66bcd2a263c8a266b.png)

![](https://developer.qcloudimg.com/http-save/yehe-12792954/4f3dfba448c0d2a62a042d2f7104f3a8.png)

## 2，链接

[【模板】二维差分](https://ac.nowcoder.com/acm/problem/226337 "【模板】二维差分")

## 3，解析

二维差分：

目的：快速算一个字矩阵加一个相同的数

规律：

## ![](https://developer.qcloudimg.com/http-save/yehe-12792954/f87c23b3c1b862d0ccd325ab3ff64078.png)  
4，代码

```cpp
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1010; 
ll f[N][N];
void insert(int r1,int c1,int r2,int c2,ll k){
    f[r1][c1] +=k;
    f[r1][c2+1] -= k;
    f[r2+1][c1] -= k;
    f[r2+1][c2+1] += k;
}
int main(){
    int n,m,q; cin >> n >> m >> q;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j = 1;j <= m;j++){
            int x; cin >> x;
            insert(i,j,i,j,x);
        }
    }
    while(q--){
        ll x1,y1,x2,y2,k; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> k;
        insert(x1,y1,x2,y2,k);
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j = 1;j <= m;j++){
            f[i][j] = f[i-1][j]+f[i][j-1]-f[i-1][j-1]+f[i][j];
            cout << f[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}
```

#  地毯

## 1，题目

## ![](https://developer.qcloudimg.com/http-save/yehe-12792954/d56d5a89a6a9845761119eb91a8f18ee.png)

## 2，链接

[https://www.luogu.com.cn/problem/P3397](https://www.luogu.com.cn/problem/P3397 "https://www.luogu.com.cn/problem/P3397")

##   
3，解析

二维差分

##   
4，代码

```cpp
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
void insert(int r1,int c1,int r2,int c2){
    f[r1][c1] += 1;
    f[r1][c2+1]-=1;
    f[r2+1][c1]-=1;
    f[r2+1][c2+1]+=1;
}
int main(){
    int n,m; cin >> n >> m;
    while(m--){
        int x1,y1,x2,y2; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        insert(x1,y1,x2,y2);
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j =1;j <= n;j++){
            f[i][j] = f[i][j]+f[i-1][j]+f[i][j-1]-f[i-1][j-1];
            cout << f[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}
```

https://ac.nowcoder.com/acm/problem/226303

基础算法之差分

算法

编程语言

差分算法以空间换时间，通过构造差分数组高效处理区间加减操作。文章涵盖一维差分（区间增量更新）与二维差分（子矩阵统一加值），结合牛客、洛谷实战题解析，展示差分在路径计数、矩阵覆盖等场景的优化应用，附C++代码实现与核心规律总结。

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