如何向其他人解释什么是大O阶?

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我想问一下这对于我的代码意味着什么?我理解他的数学含义,但是我无法理解在概念上什么意思。

比如,在某个数据结构上,一个O(1)的操作,我认为他执行的操作的数量不会增加。一个 O(n)的操作意味着你需要对每个元素执行一组操作。有人能解答我的下面几个问题么?

  • O (n^2) 的操作是什么?
  • 如果一个操作是 O(n Log(N)),这意味着什么?
  • 什么样的人才能写出 O(x!) 的算法

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这里有一些非常好的答案,但是几乎所有的答案似乎都犯了同样的错误,而且这是一个普遍使用的错误。

非正式的说,我们把 f(n) = O(g(n)),取决于一个缩放因子,并且对于任何一个 n 大于 n0, g(n)大于 f(n)。这意味着 f(n) 增长的不如或在 gn 的边界上。

非正式地,我们写道,f(N)=O(g(N))如果,直到一个标度因子,并且对于所有n大于某个N0,g(N)是更大超过f(N)。即f(N)长得不快比,或者是由上界比g(N)。这并没有告诉我们 f(N) 增长的速度有多快,但保证它不会比g(N)差。

一个具体的例子:n=O(2^n),我们都知道n的增长比2^n慢得多,因此我们可以说它是由上面的指数函数所限制的。n和2^n之间有很大的空间,虽然不是很大的空间,十分紧,但它依旧合理。

为什么我们使用边界而不是一个固定的值呢?主要因为

1。 边界更容易证明

2。 给我们一个更加简短的表达的机会。

如果说我们的算法是O(n.log n) ,意味着在最坏的情况下,n 个输入的运行时间会在 nlogn 到 尽可能大之间波动。

如果相反,我们想说一个函数的增长速度与其他函数一样快,我们将使用 theta 来说明这一点(我会写 T( f(n) ) 来表示 f(n) 的 \Theta)。T( g(n) )是在g(N)上下浮动的,再一次,并且渐近地达到一个标度因子。

即 f(n) = T( g(n) ) <=> f(n) = O(g(n)) 以及 g(N)=O(f(N))。在我们的例子中,我们可以看到n!=T(2^n),因为2^n!=O(N)。

即 和g(N)=O(f(N))。在我们的例子中,我们可以看到n!=T(2^n),因为2^n!=O(N)。!) --这并不是一个严格的限制。

这里还有另一个微妙的维度。当我们使用O(g(N))表示法时,通常我们要讨论的是最坏情况输入,我们要做一个复合语句:在最坏的情况下,运行时间不会比采取g(N)步骤的算法更糟糕。同样地,模缩放和足够大的n。但有时我们想要讨论的运行时间平均甚至最佳的情况。

Vanilla quicksort是一个很好的例子,像其他一样。在最坏的情况下是T(n ^ 2)(这实际上至少需要N ^ 2步,但不明显),但T(n.log N)在一般情况下,预期数量的步骤是n.log n,最好的情况下也是T(n.log N)- 但你可以改进它的,例如,检查这种情况下阵列是否已经有序,最好的情况下的运行时间排序将T(n)。

这与你关于这些界限的实际实现的问题有什么关系?不幸的是,O()表示法隐藏了实际实现必须处理的常量。因此,虽然我们可以说,例如,对于一个T(n^2)运算,我们必须访问每一对可能的元素,但是我们不知道我们要访问它们多少次(除非它不是n的函数)。所以我们可以每对访问10次,或者10^10次,而T(n^2)语句没有区别。低阶函数也是隐藏的-我们可以访问每一对元素一次,每个单独的元素访问100次,因为n^2+100 N=T(n^2)。O()表示法的思想是,对于足够大的n,这一点都不重要,因为n^2比100 N大得多,以至于我们甚至没有注意到100 N对运行时间的影响。然而,我们经常处理“足够小”的问题,常数等因素会产生真正的、显著的差异。

例如,快速排序(平均成本T(n.log n)))和堆排序(平均成本T(n.log )。这两种排序算法的平均成本都是相同的,但是快速排序通常比堆排序快得多。这是因为堆排序在每个元素上做的比较比快速排序要多一些。

这并不是说O()表示法是无用的,只是不精确。对于小的n来说,这是一个相当迟钝的工具。

(作为本论文的最后一个说明,请记住,O()表示法只描述了任何函数的增长---它不一定是时间,它可能是内存、分布式系统中交换的消息或并行算法所需的CPU数量)。

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