检测一个立方体和一个圆锥体是否相交?

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考虑3D中的两个几何对象:

  • 一个与轴线对齐并由其中心位置和范围(边缘长度)定义的立方体,
  • 一个不与轴线对齐并由其顶点位置定义的圆锥体,其基底中心的位置以及顶点处的半角

这是用C ++定义这些对象的小代码:

// Preprocessor
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <array>

// 3D cube from the position of its center and the side extent
class cube
{ 
    public:
        cube(const std::array<double, 3>& pos, const double ext)
        : _position(pos), _extent(ext) 
        {;}
        double center(const unsigned int idim) 
            {return _position[idim];}
        double min(const unsigned int idim)
            {return _position[idim]-_extent/2;}
        double max(const unsigned int idim)
            {return _position[idim]+_extent/2;}
        double extent()
            {return _extent;}
        double volume()
            {return std::pow(_extent, 3);}
    protected:
        std::array<double, 3> _position;
        double _extent;
};

// 3d cone from the position of its vertex, the base center, and the angle
class cone
{
    public:
        cone(const std::array<double, 3>& vert, 
             const std::array<double, 3>& bas, 
             const double ang)
        : _vertex(vert), _base(bas), _angle(ang)
        {;}
        double vertex(const unsigned int idim)
            {return _vertex[idim];}
        double base(const unsigned int idim)
            {return _base[idim];}
        double angle()
            {return _angle;}
        double height()
            {return std::sqrt(std::pow(_vertex[0]-_base[0], 2)+std::pow(
            _vertex[1]-_base[1], 2)+std::pow(_vertex[2]-_base[2], 2));}
        double radius()
            {return std::tan(_angle)*height();}
        double circle()
            {return 4*std::atan(1)*std::pow(radius(), 2);}
        double volume()
            {return circle()*height()/3;}
    protected:
        std::array<double, 3> _vertex;
        std::array<double, 3> _base;
        double _angle;
};

我想写一个函数来检测一个立方体和一个圆锥体的交点是否为空:

// Detect whether the intersection between a 3d cube and a 3d cone is not null
bool intersection(const cube& x, const cone& y)
{
    // Function that returns false if the intersection of x and y is empty
    // and true otherwise
}

下面是这个问题的例子(插图是2D的,但我的问题是3D):

如何有效地做到这一点(我正在寻找一种算法,所以答案可以用C,C ++或Python)?

提问于
用户回答回答于

代码

这个答案会比你的问题稍微普遍一些(我认为例如一个盒子而不是一个立方体)。适应你的情况应该是非常简单的。

一些定义

/*
    Here is the cone in cone space:

            +        ^
           /|\       |
          /*| \      | H
         /  |  \     |
        /       \    |
       +---------+   v

    * = alpha (angle from edge to axis)
*/
struct Cone // In cone space (important)
{
    double H;
    double alpha;
};

/*
    A 3d plane
      v
      ^----------+
      |          |
      |          |
      +----------> u
      P
*/
struct Plane
{
    double u;
    double v;
    Vector3D P;
};

// Now, a box.
// It is assumed that the values are coherent (that's only for this answer).
// On each plane, the coordinates are between 0 and 1 to be inside the face.
struct Box
{
    Plane faces[6];
};

线 - 锥交点

现在,我们来计算一个分段和我们的锥体的交集。请注意,我将在锥空间中进行计算。另请注意,我将Z轴设为垂直轴。将它改为Y,作为练习留给读者。该线假定在锥体空间中。分段方向未标准化; 相反,该段是方向矢量的长度,并从以下点开始P

/*
    The segment is points M where PM = P + t * dir, and 0 <= t <= 1
    For the cone, we have 0 <= Z <= cone.H
*/
bool intersect(Cone cone, Vector3D dir, Vector3D P)
{
    // Beware, indigest formulaes !
    double sqTA = tan(cone.alpha) * tan(cone.alpha);
    double A = dir.X * dir.X + dir.Y * dir.Y - dir.Z * dir.Z * sqTA;
    double B = 2 * P.X * dir.X +2 * P.Y * dir.Y - 2 * (cone.H - P.Z) * dir.Z * sqTA;
    double C = P.X * P.X + P.Y * P.Y - (cone.H - P.Z) * (cone.H - P.Z) * sqTA;

    // Now, we solve the polynom At² + Bt + C = 0
    double delta = B * B - 4 * A * C;
    if(delta < 0)
        return false; // No intersection between the cone and the line
    else if(A != 0)
    {
        // Check the two solutions (there might be only one, but that does not change a lot of things)
        double t1 = (-B + sqrt(delta)) / (2 * A);
        double z1 = P.Z + t1 * dir.Z;
        bool t1_intersect = (t1 >= 0 && t1 <= 1 && z1 >= 0 && z1 <= cone.H);

        double t2 = (-B - sqrt(delta)) / (2 * A);
        double z2 = P.Z + t2 * dir.Z;
        bool t2_intersect = (t2 >= 0 && t2 <= 1 && z2 >= 0 && z2 <= cone.H);

        return t1_intersect || t2_intersect;
    }
    else if(B != 0)
    {
        double t = -C / B;
        double z = P.Z + t * dir.Z;
        return t >= 0 && t <= 1 && z >= 0 && z <= cone.H;
    }
    else return C == 0;
}

矩形 - 交点

现在,我们可以检查平面的矩形部分是否与锥体相交(这将用于检查立方体的面是否与锥体相交)。仍然在锥体空间。该计划以一种有助于我们的方式传递:2个向量和一个点。向量未被归一化,以简化计算。

/*
    A point M in the plan 'rect' is defined by:
        M = rect.P + a * rect.u + b * rect.v, where (a, b) are in [0;1]²
*/
bool intersect(Cone cone, Plane rect)
{
    bool intersection = intersect(cone, rect.u, rect.P)
                     || intersect(cone, rect.u, rect.P + rect.v)
                     || intersect(cone, rect.v, rect.P)
                     || intersect(cone, rect.v, rect.P + rect.u);

    if(!intersection)
    {
        // It is possible that either the part of the plan lie
        // entirely in the cone, or the inverse. We need to check.
        Vector3D center = P + (u + v) / 2;

        // Is the face inside the cone (<=> center is inside the cone) ?
        if(center.Z >= 0 && center.Z <= cone.H)
        {
            double r = (H - center.Z) * tan(cone.alpha);
            if(center.X * center.X + center.Y * center.Y <= r)
                intersection = true;
        }

        // Is the cone inside the face (this one is more tricky) ?
        // It can be resolved by finding whether the axis of the cone crosses the face.
        // First, find the plane coefficient (descartes equation)
        Vector3D n = rect.u.crossProduct(rect.v);
        double d = -(rect.P.X * n.X + rect.P.Y * n.Y + rect.P.Z * n.Z);

        // Now, being in the face (ie, coordinates in (u, v) are between 0 and 1)
        // can be verified through scalar product
        if(n.Z != 0)
        {
            Vector3D M(0, 0, -d/n.Z);
            Vector3D MP = M - rect.P;
            if(MP.scalar(rect.u) >= 0
               || MP.scalar(rect.u) <= 1
               || MP.scalar(rect.v) >= 0
               || MP.scalar(rect.v) <= 1)
                intersection = true;
        }
    }
    return intersection;
}

盒子 - 锥形交叉口

现在,最后一部分:整个魔方:

bool intersect(Cone cone, Box box)
{
    return intersect(cone, box.faces[0])
        || intersect(cone, box.faces[1])
        || intersect(cone, box.faces[2])
        || intersect(cone, box.faces[3])
        || intersect(cone, box.faces[4])
        || intersect(cone, box.faces[5]);
}

对于数学

仍然在锥空间中,锥方程是:

// 0 is the base, the vertex is at z = H
x² + y² = (H - z)² * tan²(alpha)
0 <= z <= H

现在,3D中一条线的参数方程是:

x = u + at
y = v + bt
z = w + ct

方向矢量是(a,b,c),点(u,v,w)位于线上。

现在,让我们把这些方程组合在一起:

(u + at)² + (v + bt)² = (H - w - ct)² * tan²(alpha)

然后,在开发并重新分解该方程后,我们得到以下结果:

At² + Bt + C = 0

其中A,B和C显示在第一个相交函数中。简单地解决这个问题并检查z和t上的边界条件。

用户回答回答于
  1. 想象2无限线
    • 圆锥轴
    • 线穿过P垂直于锥轴的点(起始者的立方体中心)。

    圆锥轴是你所知道的,所以很容易,第二行被定义为 P+t*(perpendicular vector to cone axis) 这个矢量可以通过锥轴矢量和垂直于你的图像的矢量(假设Z轴)的叉积来获得。这t是标量值参数...

  2. 计算这两条线/轴的交点 如果你不知道这些公式派生它们或谷歌他们。让交点为Q
  3. 如果交点Q不在锥内 (在顶点和底部之间),那么点P不是相交锥体。根据交点方程,您将获得参数t1t2
    • t1P轴线
    • t2锥轴线

    如果你的轴线方向矢量也是圆锥体长度,那么交点在圆锥体内 t2 = <0,1>

  4. 如果P不在三角形内(由这两个轴产生的切割锥到平面) 这也很容易,你知道的位置Q内锥(t2),所以你知道,锥体在P轴从Q到距离R*t2这里R是圆锥体底座半径。所以你可以计算|P-Q|并检查它是否<=R*t2直接使用t1(如果P轴方向矢量是单位)。 如果距离较大,则R*t2P不与锥体相交。
  5. 如果#3和#4是正数则P与锥体相交

  • 希望你不要介意这里是你的形象,为清晰起见添加了几件事情

另一种方法是:为锥体创建一个变换矩阵 哪里:

  • 其顶点作为原点
  • 其轴作为+Z
  • XY平面平行于它的基

所以任何一点都在锥体内部

  • Z = <0,h>
  • X*X + Y*Y <= (R*Z/h)^2 要么 X*X + Y*Y <= (R*Z*tan(angle))^2

将立方体顶点转换为锥空间 并检查是否有任何顶点位于锥体内部,并且您可以使用#1(代数)的条件检查所有立方体边缘线,或按照以前方法沿立方体面使用更多点。

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