问查找四元数，表示从一个向量到另一个向量的转换

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简介。

在此之前，我曾使用提出一个问题将rgb三元组转换为四元数。在这个问题之后，我设法得到了单位四元数，但我怀疑他们的内部结构。没有容易的方法来操作它们，并分离卢马和色度，因为这是单位长度的四元数。根据我对它的感觉，亮度应该被编码在一个真实的部分，或者整个幅值；颜色的“色度”信息应该被编码在想象的部分。

今天，我决定改进一下，采取另一种方法，不同于上面链接中的第一种方法。我认为它可以成功，因为四元数不仅可以存储旋转(单位四元数)，而且还可以存储规模。首先是第一件事，所以我将首先解释我的下一个想法。我将在下面的解释中使用GLSL着色器语法。

方法描述和问题体。

对于图像的某些像素，让我们在单位立方体中构造一个三维矢量vec3 u，其中正坐标位于封闭范围0.0，1.0，并且表示整个rgb颜色空间。因此，现在u的坐标、u.x、u.y和u.z将相应地表示该像素的红色、绿色和蓝色值。然后，让我们取一个纯白色矢量const vec3 v = vec3(1.0, 1.0, 1.0);。让我们定义一些四元数q，这样我们的向量u是"v，旋转和缩放的四元数q“。简单地说，q必须回答“如何转换v__，以获得最初构想的颜色u__?”这个问题。让我们介绍一下“旋转和缩放”操作的功能：vec3 q2c(in vec4 q, in vec3 v)。我称之为“四元数到彩色”转换器。

编写q2c(q, v)非常简单，如所定义：q2c(q, v) == (q*vec4(v, 0.0))*q'。在这里，"*“运算符表示四元数乘法；让它成为一个函数vec4 qmul(in vec4 q1, in vec4 q2)。"q'“指的是q的共轭，让它变成vec4 qconj(in vec4 q)。省略它们的简单实现(您可以在完整的源代码中找到)，我们就可以看到经典的代码：

vec4 q2c(in vec4 q, in vec3 v) {
    return qmul(qmul(q, vec4(v, 0.0)), qconj(q));
}

现在我们有了q2c(q,v)函数，它通过旋转和缩放选择的三维矢量v，将四元数q转换成颜色。

问题是如何找到四元数q**?**

从程序员的角度来看，目标是编写反向函数vec4 c2q(in vec3 u, in vec3 v) --对应的“颜色到四元数”转换器。

请注意，您不应该触摸q2c()，没有一个真正的好理由。例如，一个严重的错误，在其逻辑，导致“不可能解决任务”，你可以证明这一点。

如果你的答案是正确的，你怎么能核实？

实际上，如果您能够前后转换，那么检查方法将产生于这样一个事实:您将得到初始值。因此，对于任何非零长度的v**，** u ，检查条件是必须始终等于 q2c(c2q(u, v), v).。v必须具有非零长度，因为不能“缩放零”才能得到“某物”。

为了简单起见，我使用测试程序服务编写了shadertoy.com。

你需要一台像样的电脑，有可工作的互联网连接和支持webGL的网络浏览器(我正在使用Chrome)。程序应该工作在任何GPU，甚至嵌入英特尔的处理器。它甚至可以在我的低端智能手机上工作！

为了测试您的答案，您应该将用GLSL语法编写的公式放在c2q()函数中。然后按“应用”按钮，您的更改将生效：

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左边的图像表示一些未更改的源像素。右半部分将包含像素，由q2c(c2q())前后转换。显然，一半必须在视觉上相等，你不应该注意到任何垂直线。一个小的数学误差(不明显)可能会出现，但只是由于浮点的性质-其有限的精度和可能的四舍五入误差。

请随意编辑和实验，更改将只在本地进行，在您的计算机上，您不能破坏任何东西。如果视频没有在第一次播放(着色玩具错误)-尝试暂停/取消它。享受吧！

c2q()大厅尝试

如果一切都是正确的，则图像的右侧(处理后的)应该等于左侧(原件)。在这里，我将回顾不同的结果，这些结果是通过在c2q()实现中放置一些东西而不是c2q()来获得的：

vec4 c2q(vec3 u, vec3 v) {
    return xxxxx;
}

让我们继续！

• 最初，我认为这必须是有效的：vec4(cross(u, v), dot(u, v))：

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• SE回答中的一个：vec4( cross(u, v), sqrt( dot(u, u) * dot(v, v) ) + dot(u, v) )：

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• 带着他的暗示“别忘了让Q正常化”：normalize(vec4( cross(u, v), sqrt( dot(u, u) * dot(v, v) ) + dot(u, v) ))：

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• @minorlogic的评论，似乎更近了一步:用q__'s组件按sqrt( length(v)/length(u) )，vec4(cross(u, v), dot(u, v)) * sqrt( length(u)/length(v) )：

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• 交换比率：vec4(cross(u, v), dot(u, v)) * sqrt( length(v)/length(u) )：

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