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机器学习-范数正则化：L1正则，L2正则

3 L1范数正则化 L1范数正则化（ L1 regularization 或 lasso ）是机器学习（machine learning）中重要的手段，在支持向量机（support vector machine...）学习过程中，实际是一种对于成本函数(cost function)求解最优的过程，因此，L1范数正则化通过向成本函数中添加L1范数，使得学习得到的结果满足稀疏化(sparsity)，从而方便人们提取特征...L1范数（L1 norm）是指向量中各个元素绝对值之和，也有个美称叫“稀疏规则算子”（Lasso regularization）。 比如 向量： ? 那么A的L1范数为： ?...最大复杂度模型+L1正规化（惩罚项） 我们在成本函数中加入L1范数（其实就是惩罚项），成本函数Jtot变为： ? 其中ρ是我们用来控制L1正规化影响的权重系数。...因此，我们的目标成为了 ： 找到一组 w使得Jtot最小！继而使用最小二乘法，完成运算。 3.3 为什么要这样构建成本函数？？？

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深度神经网络之正则化

现在再回到我们原来的问题，希望减少N的数目，而让N最小化，其实就是让X向量或W向量中项的个数最小化，既然X不行，那么我们可以尝试让W向量中项的个数最小化。...如何求解才能让W向量中项的个数最小，我们先简单介绍下0、1、2范数的概念。 ? ? 说完L0范数和L1范数，就不得不提L2范数。...L2范数是指先求向量各元素的平方和，然后再进行求平方根，也就是通常意义上的模。同样，对于正则化问题，我们的目标是让W向量中的每个元素都很小，也就是让L2范数最小。...L1范数和L2范数的不同点在于，L1范数会让其中某些元素等于0，而L2范数只是让其中元素接近0，这里有很大不同，我们在后面会进行详细讲解。...如果使用上式的损失函数，进行反向传播算法时，流程和没有正则化时的反向传播算法相同。区别在于进行梯度下降时，W更新公式会进行改变。在深度神经网络之反向传播算法中，W的梯度下降更新公式为 ?

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重磅独家 | 腾讯AI Lab AAAI18现场陈述论文：用随机象限性消极下降算法训练L1范数约束模型

腾讯技术工程官方号独家编译了论文《用随机象限性消极下降算法训练L1范数约束模型》（Training L1-Regularized Models with Orthant-Wise Passive Descent...中文概要 L1范数约束模型是一种常用的高维数据的分析方法。对于现代大规模互联网数据上的该模型，研究其优化算法可以提高其收敛速度，进而在有限时间内显著其模型准确率，或者降低对服务器资源的依赖。...经典的随机梯度下降 (SGD) 虽然可以适用神经网络等多种模型，但对于L1范数不可导性并不适用。 在本文中，我们提出了一种新的随机优化方法，随机象限性消极下降算法 (OPDA)。...本算法的出发点是L1范数函数在任何一个象限内是连续可导的，因此，模型的参数在每一次更新之后被投影到上一次迭代时所在的象限。...在RCV1等典型稀疏数据集上，我们测试了不同参数下L1/L2范数约束Logistic回归下该算法性能，其结果显著超越了已有的线性收敛算法Proximal-SVRG，并且在卷积神经网络 (CNN) 的实验上超越

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基追踪降噪（Basis Pursuit De-Noising, BPDN）

： image.png 即当参数 小于 时， 时， 取到最小值，当 小于 时，x=0取到最小值，b大于 时， 取到最小。...基本思想是由于零范数具有非凸性，故而将优化问题中的零范数转化为一范数求解的优化算法。 由文献Donoho D L.Compressedsensing[J]....(Available at: http://www.signallake.com/innovation/CompressedSensing091604.pdf)的4.1节较为详细的证明了零范数和一范数的最小化在某种条件下是等价的...L1范数最小化是通过用L1范数来近似0范数，取1而不取1/2,2/3或者其他值，是因为1范数最小化是凸优化问题，可以将求解过程转化成有一个线性规划问题。...L1最小范数下最优化问题又称为基追踪(BP)，常用实现算法有：内点法和梯度投影法。内点法速度慢，但得到的结果十分准确：而梯度投影法速度快，但没有内点法得到的结果准确 。

2.1K11

手把手带你画高大上的lasso回归模型图

其中x为自变量，y为因变量，线性回归采用一个高维的线性函数来尽可能的拟合所有的数据点，最简单的想法就是最小化函数值与真实值误差的平方，比如假设我们构建一个函数H。 ?...正则化是机器学习中的一种叫法，其它领域内叫法各不相同，统计学领域叫惩罚项，数学领域叫范数。而正则项又包括两种，即一范数和二范数，就是L1和L2范数。...重点来了：采用L1范数则是lasso 回归，L2范数则是岭回归了。那么函数有啥区别呢？如下： ? L1范数 ? ? ? L2范数 ? ?...红框标记的就是正则项，L1范数是所有参数绝对值之和，对应的回归方法叫做Lasso回归。...L2范数是所有参数的平方和，对应的回归方法叫做Ridge回归，岭回归需要注意的是，正则项中的回归系数为每个自变量对应的回归系数，不包含回归常数项 L1和L2各有优劣，L1是基于特征选择的方式，有多种求解方法

11.2K21

机器学习和深度学习中的正则化方法

2 L0范数、L1范数和L2范数 2.1 范数介绍 假如算法模型的代价函数是： ? 正则化就是给损失函数增加一个正则项： ? 式中，lamda为控制正则化程度的超参数，m为样本个数， ?...一般采用L1范数（也称为Lasso）替换L0范数来实现稀疏化，L1范数是L0范数的最优凸近似，更容易求解。L1范数的作用是控制向量各个元素的绝对值之和，也被称为“稀疏规则算子”。...最小化，接近0但不等于0，而L1范数在这里是希望一些元素等于0. 2.2 L1范数和L2范数的区别 下降速度 在机器学习任务中主要用L1范数和L2范数进行正则化，模型需要在损失函数引入正则化之后进行最小化权值参数...，下图为L1和L2的最小化过程： ?...L1和L2正则的目的都是类似下坡的过程进行最小化，L1是按绝对值函数进行最小化，L2是按二次函数进行最小化，相对而言L1的下降速度会比L2快一些。

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史上最全面的正则化技术总结与分析！

，然后针对L1和L2范数正则从4个方面深入理解，最后对常用的典型算法应用进行了分析和总结，后续文章将分析深度学习中的正则化技术。...同时也可以看出，采用不同的范数作为正则项，会得到完全不同的算法模型结果，故而对于不同要求的模型，应该采用不同的范数作为正则项。 ?...针对L1和L2范数还有结论：L2范数相当于给模型参数设置一个协方差为1/alpha的零均值高斯先验分布，L1范数相当于给模型参数设置一个参数为1/alpha的拉普拉斯先验分布。...L1范数罚有一个问题：由于|X|函数在0处不可导，故而直接使用最小二乘法、梯度下降法等方法均失效，但是由于其为第一类间断点中的可去间断点，可以通过补充该点的定义解决，通常，对于线性回归中的lasso回归可以采用近似的前向逐步回归替代...在误差符合均值为0的高斯分布，则最大似然估计和最小二乘法等价 (6) 最大后验估计就是在最大似然估计函数上面乘上了一项先验分布而已 (7) L2范数相当于给模型参数设置一个零均值高斯先验分布，L1范数相当于给模型参数设置一个拉普拉斯先验分布

1.2K60

笔记︱范数正则化L0、L1、L2-岭回归&Lasso回归（稀疏与特征工程）

———————————————————————————————————————————— 三、L0/L1范数 1、分别定义 L0范数是指向量中非0的元素的个数。...L1范数是指向量中各个元素绝对值之和，也有个美称叫“稀疏规则算子”（Lasso regularization）。 2、两者关系： 为什么L1范数会使权值稀疏？...L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因具有比L0更好的优化求解特性而被广泛应用。...我们让L2范数的规则项||W||2最小，可以使得W的每个元素都很小，都接近于0，但与L1范数不同，它不会让它等于0，而是接近于0。 L2的作用=参数变小=模型变简单≈模型参数信息变少。...———————————————————————————————————————————— 五、Lasso算法和岭回归算法区别 1、梯度下降速度 L1和L2的差别就在于这个“坡”不同，如下图：L1就是按绝对值函数的

1.6K11

当支持向量机遇上神经网络：这项研究揭示了SVM、GAN、Wasserstein距离之间的关系

它是一种在分类与回归分析中分析数据的监督式学习模型与相关的学习算法。...给定一组训练实例，每个训练实例被标记为属于两个类别中的一个或另一个，SVM 训练算法创建一个将新的实例分配给两个类别之一的模型，使其成为非概率二元线性分类器。...最小化 L1 范数的损失函数比最小化 L2 范数的损失函数对异常值更具鲁棒性。基于这一事实，研究者提出质疑：L1 范数间隔会带来鲁棒性更强的分类器，生成的 GAN 也可能比 L2 范数间隔更佳。...重要的是，L1 范数间隔会造成 L∞ 梯度范数惩罚，L2 范数间隔会造成 L2 梯度范数惩罚。该研究进行了一些实验，表明 L∞ 梯度范数惩罚（因使用 L1 间隔产生）得到的 GAN 性能更优。...使用 L1 范数间隔的想法只是冰山一角，该框架还能通过更具鲁棒性的间隔，设计出更优秀的 GAN（从而提供更好的梯度惩罚或「光谱」归一化技术）。

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范数详解-torch.linalg.norm计算实例

L1范数 ---- L1 范数（L1 norm）是指向量中各个元素的绝对值之和，也称为曼哈顿距离（Manhattan distance）或城市街区距离（city block distance）。...L1 范数可以被用于衡量向量或矩阵中各个元素的绝对大小，具有一些特殊的性质，例如对于稀疏向量，它的 L1 范数更容易被最小化，因为它倾向于将向量的一些元素设为 0。...与无穷范数类似，L1 范数也具有一些重要的性质，包括非负性、齐次性、三角不等式和矩阵乘法性质。在矩阵计算和优化中，L1 范数也有广泛的应用。...例如，在稀疏信号处理中，可以使用 L1 范数来促进信号的稀疏性；在机器学习中，可以使用 L1 范数作为正则化项来防止过拟合。...L2范数可以被用于衡量向量的大小，也可以被用于衡量向量之间的距离，具有一些特殊的性质，例如在最小化误差的时候，L2范数可以找到唯一的最小化点，而L1范数可能有多个最小化点。

1.1K30

Loss Function

但从最优化问题解的平滑性来看, L1范数的最优解相对于L2范数要少, 但其往往是最优解, 而L2的解很多, 但更多的倾向于某种局部最优解....L0范数本身是特征选择的最直接最理想的方案, 但如前所述, 其不可分, 且很难优化, 因此实际应用中我们使用L1来得到L0的最优凸近似....L0-范数 image.png 向量中非零元素的个数 在 Sparse Coding 中, 通过最小化 L0 寻找最少最优的稀疏特征....但难以优化, 一般转化成 L1 L2 L1-范数 曼哈顿距离 image.png 如计算机视觉中对比两张图片的不同像素点之和 L2-范数 欧几里得距离 image.png Lp-范数 image.png...$ 表示残差, 整个式子表示残差平方和, Residual Sum of Squares 指数损失函数 Exponential Loss image.png 如 Adaboost, 它是前向分步加法算法的特例

1.7K40

机器学习中如何解决过拟合

那我们再来看看L1范数是什么？它为什么可以实现稀疏？为什么大家都用L1范数去实现稀疏，而不是L0范数呢？...所以大家才把目光和万千宠爱转于L1范数。 ? OK，来个一句话总结：L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因具有比L0更好的优化求解特性而被广泛应用。...我们让L2范数的规则项||W||2最小，可以使得W的每个元素都很小，都接近于0，但与L1范数不同，它不会让它等于0，而是接近于0，这里是有很大的区别的哦。...前者俺就不说了，大家都懂吧，我们要找的是全局最小值，如果局部最小值太多，那我们的优化算法就很容易陷入局部最小而不能自拔，这很明显不是观众愿意看到的剧情。 那下面我们来聊聊ill-condition。...好了，这里兑现上面的承诺，来直观的聊聊L1和L2的差别，为什么一个让绝对值最小，一个让平方最小，会有那么大的差别呢？

78530

机器学习损失函数、L1-L2正则化的前世今生

RidgeRegression是一种专用于共线性的回归方法，对病态数据的拟合要强于最小二乘法（有想了解共线性问题，最小二乘的同学可以自己查资料了，如果对矩阵运算和矩阵性质熟悉的话会容易理解）。...这张图很好的解释了为什么使用L1范数可以导致稀疏解，L2范数导致稠密解。下面从自己理解的角度和大家分享一下。...也许你已经发现，其实说L1范数下可以导致稀疏并不是说L1范数下一定导致稀疏，这还得看原问题的最优解到底在哪个地方取值。 二．Lq下的目标函数 ?...除了上面提到的不管是线性回归问题常用的最小二乘法的平方损失函数，还是加入了L1、L2正则项等问题的目标函数，还有很多很多的以损失函数为目标函数的种类，譬如说，Logistics Regression使用的...上为什么表现不同，L1为什么可以引起稀疏，哪些情况需要稀疏，接着引入了泛化的Lq范数，并且指出为啥不能用L0范数，最后给出了损失函数和正则化的最一般问题的来源，扒拉了下其他算法使用的目标函数的宗源。

1.8K70

学界 | 清华大学NIPS 2017 Spotlight论文：通过在单纯形上软门限投影的加速随机贪心坐标下降

，那么 (1) 是著名的 l1 范数正则经验风险最小化问题. 如果 ? , 那么 (1) 是 Lasso; 如果 ? , 那么 (1) 是 l1 范数 logistic 回归。...使用以上 3 个规则的 GCD 算法可以概括为如下过程: 基于 ? 的一种均方逼近，在每次迭代中，以方向向量最多有一个非 0 元为约束的前提下，最小化一个代理函数。...在本文中，通过 l1 范数逼近而不是均方逼近，我们提出了 Gauss-Southwell 规则的一个新的变种。...该变种旨在解决一个 l1 正则化 l1 范数平方逼近 (l1-regularized l1-norm square approximation) 问题，如下所示： ?...SOTOPO 算法的描述如下： ? 关于推出SOTOPO算法所依据的引理和SOTOPO可准确求解l1正则化l1范数平方逼近的证明请见原文（非camera-ready）。

1K130

AAAI 2018 | 腾讯AI Lab现场陈述论文：训练L1稀疏模型的象限性消极下降算法

中文概要 L1 范数正则模型是一种常用的高维数据的分析方法。对于现代大规模互联网数据上的该模型，研究其优化算法可以提高其收敛速度，进而在有限时间内显著其模型准确率，或者降低对服务器资源的依赖。...经典的随机梯度下降 (SGD) 虽然可以适用于神经网络等多种模型，但对于 L1 范数不可导性并不适用。 在本文中，我们提出了一种新的随机优化方法，随机象限性消极下降算法 (OPDA)。...本算法的出发点是 L1 范数函数在任何一个象限内是连续可导的，因此，模型的参数在每一次更新之后被投影到上一次迭代时所在的象限。...在 RCV1 等典型稀疏数据集上，我们测试了不同参数下 L1/L2 范数约束 Logistic 回归下该算法性能，其结果显著超越了已有的线性收敛算法 Proximal-SVRG，并且在卷积神经网络 (CNN...我们可以把大部分问题统一为最小化一个正则化函数 P(x)= F(x)+R(x)，其中 F(x) 是 N 个损失函数的平均，其中每个都依赖于一个数据样本，R 是 L1 正则项。

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机器学习 学习笔记（16） 特征选择与稀疏学习

数据集D，特征集A，学习算法 ?...通过引入L2范数正则化，显著降低过拟合的风险。 将L2范数替换成Lp范数也是可以的，替换为L1范数，则： ? ，其中正则化参数 ?...L0范数是指向量中非0元素的个数 L1范数是指向量中各个元素绝对值之和 L2范数，指向量各元素的平方和再求平方根，让L2范数的正则项最小，可以使得W的每个元素都很小，都接近于0，但是不会让它等于0。...L2范数的好处： （1）学习理论角度，L2范数可以防止过拟合，提升模型的泛化能力 （2）优化计算角度，L2范数有助于处理condition number不好的情况下矩阵求逆很困难的问题 L1范数结果不论扰动哪个特征...通过近端梯度下降（Proximal Gradient Descent，PGD）可以快速求解LASSO和其它基于L1范数最小化的方法。

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