from sympy import * x = Symbol("x") diff(x**3+x,x) #output: 3*x**2 + 1 # 一维多项式...
链式法则是微积分中复合函数的求导法则。 复合函数，是指一个函数作为另一个函数的自变量。
类似的结论也存在于标量对向量的求导，向量对向量的求导，向量对矩阵的求导，矩阵对向量的求导，以及矩阵对矩阵的求导等。 ...另外三种向量对矩阵的求导，矩阵对向量的求导，以及矩阵对矩阵的求导我们在第三篇再讲。 ...为了解决这个问题，我们引入求导布局的概念。 3. 矩阵向量求导布局 为了解决矩阵向量求导的结果不唯一，我们引入求导布局。...它的求导结果在分子布局和分母布局各是什么呢？对于这2个向量求导，那么一共有$mn$个标量对标量的求导。求导的结果一般是排列为一个矩阵。...矩阵向量求导基础总结 有了矩阵向量求导的定义和默认布局，我们后续就可以对上表中的5种矩阵向量求导过程进行一些常见的求导推导总结求导方法，并讨论向量求导的链式法则。 （欢迎转载，转载请注明出处。
基本求导公式 \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) 趋近于 0 时为导数： \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta...x}=f^{\prime}(x) 求导四则运算法则与性质 可导，则： \begin{array}{c}(u(x) \pm v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) \pm v...(c u(x))^{\prime}=c u^{\prime}(x) 线性性 求导运算也是满足线性性的，即可加性、数乘性，对于n个函数的情况 : \left[\sum_{i=1}^{n} C_{i}...[c_{1} f_{1}+\cdots+c_{n} f_{n}\right]^{\prime}=c_{1} f_{1}^{\prime}+\cdots+c_{n} f_{n}^{\prime} 反函数求导法则...x) 严格单调且可导，则其反函数 y=f(x) 的导数存在，且有： $$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{\varphi^{\prime}(y)} $$ 复合函数求导法则
指数函数可推出： x^(y+z)=x^y*x^z 所以（1）=》 =lim(x->0):d(a^x)(a^dx-1)/dx =lim(x->0) d(a^x)*M(a) （2） 分析2式看出，对 a^x的求导...，还原了自身，在2式中存在着 自身 d(a^x) 只不过后面多了个 M(a) 思路是让这个M(a)=1 这时我们可以推测出这个求导的结果必然是 其指数自身的一种形式对另一个值的积的形式！...k=lna 用 e^k 来表示a 当e成为常数后 那么仅剩下的k就由a自己表达了 为lna d(a^x)/dx= d((e^lna)^x)/dx 4 所有构思的目的就是为了得到4式，然后根据链式求导法则就以直接得出...4=> d(e^lna*x)/dx //链式求导，内函数为，lna*x =e^(lna*x) *lna =e^(lna*x)*lna= a^x * lna // 因为 e^x*lna=(e^lna)^x=a^x (5) 5式就是指数函数的求导结果了 发布者：全栈程序员栈长，
符号约定 矩阵求导 矩阵A对矩阵B求导的本质：矩阵A的每个元素分别对矩阵B中的每个元素进行求导。...以分母布局为例的矩阵求导的基本原则 1. 原则1：如果分子是标量函数，分母是列向量，那么求导结果要写成分母的形式，也就是列向量。 2....原则2：如果分子是列向量，分母是标量，那么求导结果要写成分子转置的形式，也就是行向量。 3....例1 A和x是p*1的矩阵，ATx = xTA，它们对x求导结果都是A。 例2 所以，公式2： 最小二乘估计推导 有用的公式 一些说明 1. 除了分母布局外，还有分子布局、混合布局。
在这一过程中，一个重要的细节便是模型如何学习到最优参数，答案是通过梯度下降法。实际上，梯度下降法是一类优化方法，是深度学习中广泛应用甚至可称得上是深度学习的基石。...本篇不打算讲解梯度下降法，而主要来谈一谈Tensor如何实现自动求导，明白这一过程方能进一步理解各种梯度下降法的原理。...讲解Tensor如何实现自动求导，本文分别从理论分析和代码实践的角度加以陈述： Tensor中的自动求导：与梯度相关的属性，前向传播和反向传播 自动求导探索实践：以线性回归为例，探索自动求导过程 01..."——引自PyTorch官方文档 了解了Tensor所具有上述属性和方法，那么它是如何实现自动求导的呢？这就又要涉及到前向传播和反向传播这两个重要概念。...那么进一步地，这里w.grad和b.grad的数值是如何得到的呢？我们实际手动求解一遍。
) 4 print(x) 5 x.attach_grad() #附加导数存放的空间 6 with ag.record(): 7 y = 2*x**2 8 y.backward() #求导... 对控制流求导 NDArray还能对诸如if的控制分支进行求导，比如下面这段代码： 1 def f(a): 2 if nd.sum(a).asscalar...b = a*2 #则所有元素*2 4 else: 5 b = a 6 return b 数学公式等价于： 这样就转换成本文最开头示例一样，变成单一函数求导...[[10, 1.], [.1, .01]]) #所谓的"头梯度" 13 print("head=") 14 print(head) 15 y.backward(head_gradient) #用头梯度求导...NDArray对复合函数求导时，已经自动应用了链式法则，见下面的示例代码： 1 import mxnet.ndarray as nd 2 import mxnet.autograd as ag 3
本文承接上篇 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748，来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 表示列向量，大写字母X表示矩阵。...矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法求解优化问题。 首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，需要什么样的定义？...对向量或矩阵求导都可以得到Hessian矩阵，但从矩阵 f出发更方便。...再谈一谈复合：假设已求得，而Y是X的函数，如何求呢？从导数与微分的联系入手， ，可以推出链式法则。 和标量对矩阵的导数相比，矩阵对矩阵的导数形式更加复杂，从不同角度出发常会得到形式不同的结果。...可以对求导来证明，一方面，直接求导得到；另一方面，引入，有, ，用链式法则得到。 。 ，A是m×n矩阵，B是p×q矩阵。可以对做向量化来证明，一方面，；另一方面，。 接下来演示一些算例。
一、矩阵求导 一般来讲，我们约定x=(x1,x2,...xN)T，这是分母布局。常见的矩阵求导方式有：向量对向量求导，标量对向量求导，向量对标量求导。1、向量对向量求导?2、标量对向量求导??...3、向量对标量求导?其他的可以参考wiki：维基百科矩阵求导公式二、几种重要的矩阵1、梯度（Gradient）??2、雅克比矩阵（Jacobian matrix）??...三、常用的矩阵求导公式??参考：https://blog.csdn.net/xtydtc/article/de
缘由 布局 求导的类别 从简单的例子说起 实例 SVM的对偶形式转换 Soft-SVM对偶形式转换 线性回归 logistic回归 参考资料 缘由 机器学习的很多算法表示中都采用了矩阵的形式，对算法的描述分析中就涉及到了对向量...、对矩阵的求导。...布局 矩阵求导有两种布局： 分子布局（numerator layout） 分母布局（denominator layout） 下面用向量y\mathrm{\mathbf{y}}对标量xx求导简单说明这两种布局的区别...（采用这种布局的主要原因是向量对向量的求导就是一个矩阵了） 求导的类别 求导大致分为5类： 向量对标量 标量对向量 向量对向量 矩阵对向量 向量对矩阵 矩阵求导的大致规则如下： 对标量求导结果都要转置...，而标量对向量或者矩阵求导的话位置不变。
描述了图像中每个像素点上强度变化最大的方向。我们可以使用离散近似的方式来计算图像的导数。图像导数大多数可以通过卷积简单地实现：
sicp练习2.57 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18...
同时也可以看出，一个n×1的向量对一个n×1的向量求导后，得到了一个n×n的矩阵。 导数拓展到矩阵 矩阵求导结果的布局 包括：分子布局或分母布局。 分子布局：求导结果的维度以分子为主。...拿标量对向量求导的例子来说，假如向量是一个行向量，那么求导结果是列向量，假如向量是一个列向量，那么求导结果是行向量。 分母布局：求导结果的维度以分母为主。...拿标量对向量求导的例子来说，假如向量是一个行向量，那么求导结果是行向量，假如向量是一个列向量，那么求导结果是列向量。 可见，分子布局和分母布局两者相差一个转置。...，分母布局中求导后的结果行数与分母相同。...，参考学习链接： 矩阵求导的本质与分子布局、分母布局的本质（矩阵求导——本质篇） 矩阵求导公式的数学推导（矩阵求导——基础篇） 矩阵求导公式的数学推导（矩阵求导——进阶篇） ---- 【手推机器学习】
自己理解：当积分上限为被积函数的自变量时，变限积分在某一点的导数等于被积分函数在这一点的值，就是说积分这一点的增量为被积分函数在这一点的值乘以自变量增量区间大小，求导求出来的就是这一点的导数即为被积分函数在这一点的值...自变量增量区间为某个函数时，此函数也需要进行求导方可平衡。
最近在研究怎么用C++从头写一个深度学习训练框架，在写自动求导的时候顺手写了个Python版，代码更简单一些，在这里分享给大家。...这是很简单的反向传播过程，相信大家都了解，那么要如何用Python实现呢。...Python实现 首先要定义一个节点类，这里我们给它取名叫Tensor（Pytorch用习惯了），然后重载这个类的四则运算，使对象在进行四则运算的同时建立运算关系。
w进行求导(4式)： 由上面知道X的shape为NxD，由于L对S求导的shape为NxC，而NxD矩阵与NxC矩阵不能直接相乘，故要对X进行转置！...对(4)内部进行求导拆分，如(5)式 s1只跟L1有关，si只跟Lj有关，于是求和可以去掉，转化为后面那个Lj对Sj求导！...Sjyj的时候，也就是k等于yj的时候求导，当max函数算出的值大于0，求导为-1，否则为0，将所有的值相加就是最后的k=yj求导结果。...loss =(np.sum(scores)-num_train*1)/num_train 另外就是在计算ds的时候，这个ds就是上述(5)式，L对S求导，最终求导结论就是： (1)当对Sjk求导时(k...Sjyj求导，因为是多个max函数累加，那么对于Sjyj求导的话是每一个max都有一项，所以如果max得分是正数，则表示求导结果是-1，将多个求导的-1叠加就是最后对Sjyj的求导总和；而对于Sjk求导
在矩阵向量求导前4篇文章中，我们主要讨论了标量对向量矩阵的求导，以及向量对向量的求导。...本文我们就讨论下之前没有涉及到的矩阵对矩阵的求导，还有矩阵对向量，向量对矩阵求导这几种形式的求导方法。 ...mn$个值分别求导，那么求导的结果一共会有$mnpq$个。...那么求导的结果如何排列呢？方法有很多种。 ...这两种定义虽然没有什么问题，但是很难用于实际的求导，比如类似我们在机器学习中的矩阵向量求导(三) 矩阵向量求导之微分法中很方便使用的微分法求导。
在前期文章中我们讲了梯度是如何计算的，主要采用BP算法，或者说利用链式法则。但是深度学习模型是复杂多样的，你不大可能每次都要自己使用链式法则去计算梯度，然后采用硬编程的方式实现。...而目前的深度学习框架其都是实现了自动求梯度的功能，你只关注模型架构的设计，而不必关注模型背后的梯度是如何计算的。不过，我们还是想说一说自动求导是如何实现的。...---- ---- 符号模式 符号微分适合符号表达式的自动求导，符号微分技术广泛应用在数学软件如Matlab、Maple及Mathematica等。符号微分的原理是基于下面的简单求导规则： ?...当我们将符号表达式用表达式树表示时，可以利用加法规则和乘法规则进行自动求导。比如我们要求符号表达式f(x)=2x+x^2，可以展开成如下图的表达式树： ? 利用求导规则，可以求出： ?...基于表达式树和求导规则，我们可以得到最终的导数。有一点要注意的是，符号微分不一定会得到简化的导数，因为计算机可能并不能进行智能的简化。
矩阵的求导就是在一定规则下把向量或者矩阵展开，一一对应进行求导。...需要注意的规则：（以下公式默认在分子布局下的结果，若分母布局需要转置） 在涉及矩阵的求导时，分子布局下无需转置，分母布局下需要转置； ? ? ? 常用公式： ? ，若A为对称矩阵，则 ?
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