对2023年贵州省中考数学25题的思考

本题属于几何综合题，也是贵州省中考数学中“7”、“2”、“1”都兼顾的题目，总体来看，本题具有以下几个特点：

1.起点低：第（1）问属于基础题，考查学生动手操作能力，几何直观等，画出图形即可得出∠PBE的度数，实在无法计算时，用量角器也可量出答案；

2.考法活：第（2）问属于中档题，考查学生推理能力，学生可以从不同角度作辅助线，再进行证明即可。

值得一提的是，多数学生陷入“一线三垂直模型”而“无法回头”可能会导致推理遇到问题，如下图所示，学生很容易构造出“一线三垂直”模型，

然而……

可是……

But……

我们很容易得出∠H=∠C=90°，∠CAP=∠HPE，但需要的边长却无法得到相等。

因此，这种方法或许并不是最佳方式，如果有同学运用这个方法得出结论的，欢迎评论区留言。

在平时的教学中，老师们反复强调，不要记模型，要理解数学原理，理解最基本的知识和技能，刚才的方法充分说明记“死模型”是容易出问题的！下面我们来看几种有效的证明方法：

【构造全等1】如图，在AC上取点H使得PC=CH，

易证∠3=∠2，∠1=∠EBP=135°，AH=BP，

可得△PBE≌△AHP，

∴PE=PA，

【注意】辅助线的作法有多种，如过点P作PH∥AB交AC于点H；

在AC上取点H使得AH=BP等；

【构造全等2】过点P作PG⊥BC交AB于点G；

易证∠1=∠4，∠5=∠EBP=135°，PG=BP，

可得△PBE≌△PGA，

∴PE=PA，

【构造全等3】

过点P作PG⊥AB于点G，PH⊥EB于点H，

易证四边形BHPG是正方形，从而得△HPE≌△GPA，可得出结论。

【构造相似】连接AE，

由∠APF=∠EBF，∠AFP=∠EFB

可得△APF∽△EFB，

∴

，即

，

又∵∠PFE=∠PFB，

∴△AEF∽△PBF

可得∠AEF=∠PBF=45°，

可得△APE为等腰直角三角形，可得出结论；

【隐形圆】连接AE，取AE的中点O，连接OB，OP，

由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得OA=OE=OB=OP，

得A、E、B、P四点共圆，

可得∠2=∠1=45°，

可得△APE为等腰直角三角形，可得出结论；

无论哪一种方法，都是紧密联系常规解题思路，即全等、相似，更高级点就是隐形圆。学生掌握最基本的全等三角形的构造后，解决本题比较轻松。

3.拓展广：第（3）问中，渗透分类讨论、化归等数学思想，通过对P点在不同位置进行讨论，再根据基本图形间的边角关系进行转化即可得出结论。

本题从简单的几何图形旋转出发，充分考虑学生的个性发展，问题设置层层递减，即符合新课标“让每个学生都能参与数学的学习，并能享受数学学习带来的快乐”这一理念，又具有中考的“选拔性”功能。同时也指导我们今后的教学，重在引导学生参与数学课堂的学习，并通过数学的学习养成独立思考、深入思考的学习习惯。

对于本题，你还有什么看法？欢迎评论区留言讨论。

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