状态方程与输出方程一般形式-信号系统考研

状态方程的一般形式

首先，我们来聊聊状态方程。在信号与系统中，状态方程是用来描述系统内部状态变量随时间变化规律的数学表达式。对于线性定常系统，状态方程通常可以写成这样的形式：

markdown复制代码x(n+1) = Ax(n) + Bu(n) 或对于连续时间系统： \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)

x(n) 或 x(t)：表示系统的状态向量，包含了描述系统当前状态的所有必要信息。

u(n) 或 u(t)：表示系统的输入向量。

A：系统矩阵，描述了状态变量之间的相互影响。

B：输入矩阵，描述了输入如何影响状态变量。

这里的关键是理解状态变量、输入以及它们之间是如何通过矩阵A和B相互作用的。掌握这一点，对于解决动态系统的问题至关重要！🧠

输出方程的一般形式

接下来，我们看看输出方程。输出方程是描述系统输出与状态变量及输入之间关系的数学表达式。同样地，对于线性定常系统，输出方程可以表示为：

markdown复制代码y(n) = Cx(n) + Du(n) 或对于连续时间系统： y(t) = Cx(t) + Du(t)

y(n) 或 y(t)：表示系统的输出向量。

C：输出矩阵，描述了状态变量如何影响输出。

D：直接传输矩阵（或称为前馈矩阵），描述了输入如何直接影响输出（如果有的话）。

在输出方程中，C矩阵告诉我们状态变量如何转化为输出，而D矩阵则表示输入对输出的直接贡献。理解这些矩阵如何协同工作，对于预测和控制系统输出至关重要！

状态空间表达式

状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，也称为动态方程。它完整地表征了一个系统的动态过程。一般形式为：

markdown复制代码[状态方程] x(n+1) = Ax(n) + Bu(n) [输出方程] y(n) = Cx(n) + Du(n)

或者，对于连续时间系统：

markdown复制代码[状态方程] \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) [输出方程] y(t) = Cx(t) + Du(t)

这样的组合让我们能够全面把握系统的行为特性，无论是分析系统的稳定性、响应特性，还是设计控制系统，都离不开状态空间表达式的应用。