重磅！困扰数学界 60 年的 “搬沙发难题” 迎曙光，119 页论文锁定最优解，百万网友强势围观

在经典美剧《老友记》中，罗斯搬家时与瑞秋抬沙发上楼梯扶手却遭遇尴尬一幕，而这一情节竟牵扯出数学领域一个著名的未解决难题——移动沙发问题。

1966 年，加拿大数学家 Leo Moser 正式提出这个问题：在宽度为 1 的 L 形平面走廊中，能通过直角转弯的“沙发”最大面积是多少？

1968 年，数学家 John Michael Hammersley 给出一种解法，设计出类似电话听筒形状的沙发，由两个四分之一圆和中间挖去半圆的矩形块组成，算出面积为 2.2074。

但并非最优解。

到了 1992 年，美国数学家 Gerver 对 Hammersley 沙发进行改进。他设计的沙发由 18 条不同曲线段构成，包括圆弧、圆的渐开线及其渐开线等，算出最大沙发面积为 2.2195，方法更为巧妙。

不过，Gerver 虽推测自己的沙发是最优解，却无法证明其唯一性和最大面积的确定性。

然而，在 2024 年 12 月 2 日，韩国学者 Jineon Baek 发表了一篇新论文，声称证明了 Gerver 的沙发确实是最优解。这一研究在社交媒体（如 x）上引起极高热度，吸引众多人关注。

Jineon Baek 的证明论文长达 119 页，题目为《Optimality of Gerver’s Sofa》。目前，相关专家验证其正确性还需时间。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2411.19826

这个困扰人类 58 年的数学难题终于有了答案，网友们也纷纷发表看法。

“我甚至不是数学家，自从 20 年前听说这个问题后，我就一直在思考它。每次我需要把东西通过门时，我都会想到这个问题。”

“我没想到这个形状会是最优的，这 18 个部分看起来不够优雅。”

证明过程简述

该论文共分 8 章。

摘要仅一句话：“通过证明具有 18 个曲线段的 Gerver 沙发的确达到了最大面积 2.2195，进而解决了移动沙发问题。”

以下为 Gerver 的沙发 G，刻度表示构成 G 边界的 18 条解析曲线和线段的端点，包含 G 的支撑走廊 L_t 在右侧以灰色表示。

在证明过程中，作者除了在科学计算器上进行数值计算之外，没有使用任何计算机辅助。

这个问题之所以难，是因为没有通用公式计算所有可能的移动沙发面积。作者通过证明最大面积的移动沙发 S_max 的一个属性——可注入性条件，来解决问题。对于每个满足条件的移动沙发 S，作者定义一个类似 Gerver 沙发形状的更大形状 R，R 的面积 Q(S)就是 S 面积的上限，若为 Gerver 沙发 G，则 Q(S)与 S 的精确面积相匹配。S 的可注入性条件确保区域 R 的边界形成 Jordan 曲线，从而能用格林定理计算 Q(S)。

具体来讲，定理 1.1.1 的完整证明分为三个主要步骤：

步骤 1：限制最大面积移动沙发 S_max 的可能形状。

步骤 1-(a)：将 S_max 的可能形状缩小为单调沙发，即由支撑走廊内角雕刻出凹痕的凸体。

步骤 1-(b)：重新证明 Gerver 的一个重要局部最优条件，即 S_max 的边长应相互平衡。

步骤 1-(c)：用前面的步骤和基本几何表明 S_max 在移动过程中旋转了整整一个直角。

步骤 2：建立 S_max 的可注入性条件。

这是建立上限 Q 的关键，表明 L 内角(0,0)的轨迹在移动沙发的视角中不会形成自环。为证明这一条件，作者在 S_max 上建立了一个新的微分不等式，该不等式受 Romik 的一个 ODE 启发，这个 ODE 平衡了 Gerver 沙发的微分边。

步骤 3：构建满足可注入性条件的移动沙发 S 面积的上界 Q(S)，并最大化关于 S 的 Q(S)。

步骤 3-(a)：将所有移动沙发的空间 S 扩展为具有单射条件的凸体元组(K,B,D)的集合 L，使每个 S 一一映射到(K,B,D)∈L。

步骤 3-(b)：定义扩展域 L 上的上界 Q。作者遵循 R 的边界，用格林定理和 Brunn-Minkowski 理论中关于 K、B 和 D 的二次面积表达式表示其面积 Q，同时用单射条件和 Jordan 曲线定理严格证明 Q(K,B,D)是 S 面积的上界。

步骤 3-(c)：用 Mamikon 定理确定 Q 在 L 上的凹度。

步骤 3-(d)：计算由 Gerver 沙发 G 产生的凸体(K,B,D)∈L 处 Q 的方向导数。用 Romik 在 G 上的局部最优 ODE 表明方向导数始终为非正值，意味着 G 是 Q 在 L 中的局部最优值。由于 Q 在 L 上是凹的，所以 G 也是 Q 在 L 中的全局最优值。又因为 G 处 Q 的值与面积匹配，所以沙发 G 全局最大化了面积，从而完成定理 1.1.1 的证明。

更具体的证明细节请参考原论文。

作者介绍

这篇论文的作者 Jineon Baek，本科毕业于韩国浦项科技大学，博士就读于美国密歇根大学安娜堡分校。现为韩国首尔延世大学的博士后研究员，导师是 Joonkyung Lee。

他主要研究兴趣是组合数学和几何学中的优化问题，这类问题往往通过简单却有趣的表述吸引更广泛的受众。

他在人工智能领域也发表过一些相关文章，在医学图像处理、教育数据挖掘等领域发表了多篇会议和期刊论文，特别是在 X 射线 CT 图像去噪、考试分数预测、标准化考试准备推荐系统等方面有所贡献。

查阅 Jineon Baek 发表过的文章会发现，这不是他第一次研究移动沙发问题。今年 6 月，他就移动沙发的上限问题进行了研究。在新文章发布的 12 月 2 日当天，arxiv 上显示这篇论文提交了一个更新版本（v2），之后撤回了该版本。

现在，不少网友在网上讨论《Optimality of Gerver's Sofa》。

“非常直观，正是大多数人会猜测的那样。不过，我猜证明这一点要困难得多吧？”

“在现实生活中，答案取决于天花板的高度以及沙发是否带有可倾斜的靠背。”

“对于沙发来说，这真的是一个糟糕的设计。”

那么，你怎么看这个移动沙发的最优解呢？