阻尼测试原理、方法、装置和内耗分析的应用

系统的固有频率是系统振动的重要特性之一，在振动研究中有着十分重要的意义。单自由度系统固有频率的计算常采用以下几种方法。

1

静变形法

如竖直方向振动的弹簧质量系统，当质体处于静平衡状态时，弹簧的弹性恢复力与质体的重力互相平衡。假定质体的重力为W=mg，弹簧的静变形为δj，弹簧刚度为k，则有：

结合

可推得

由上式可以看出,只要测得弹簧的静变形量,就可以计算出系统的固有频率。

2

能量法

无阻尼自由振动系统没有能量损失，振动将永远持续下去。在振动过程中，动能与弹簧势能不断转换，但总的机械能守恒。因此，可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率。

振动任一瞬时，系统机械能守恒，有：

式中：

T——系统质量的动能；

U——系统弹性变形势能或重力做功产生的势能。

图1 能量法

如图1所示，任一瞬时质体m的位移为x，则系统的动能为：

该系统的势能为质体m离开平衡位置时弹性恢复力所做的功，即：

此时系统的总机械能为：

当质体m经过平衡位置时，位移x为零，势能等于零，其动能达到最大值，即：

当质体m离开平衡位置达到最大位移处时，速度为零，动能为零，其弹性势能达到最大，即：

由于系统的最大动能与系统的最大势能相等，所以有：

对单自由度无阻尼自由振动，时间历程为：

对时间历程方程式求得，得

由：

得系统的最大动能为：

由：

可知系统的最大势能为：

由：

得到：

即：

进而有：

能量法可以比较方便地计算出复杂的单自由度系统的固有频率。

3

瑞利法

上述两种方法，均忽略了弹性元件的质量。但在许多实际问题中，弹性元件本身的质量可能占总重量的一定比例。如果此时忽略部分弹性元件质量，将会导致计算的固有频率偏高。为了计入弹性元件的质量，瑞利（Rayleigh）提出了一种考虑弹性元件质量的近似计算系统固有频率的方法，称为瑞利法。在应用瑞利法时，通常用系统的静态变形曲线代替实际系统的振型曲线，然后采用能量法求解系统的固有频率。实践证明，该方法较精确，误差较小。

图2 瑞利法

如图2所示，假定弹簧各截面的位移与它离固定端的距离成正比，即与其静态变形情况相同。当质体m位移为x时，则弹簧上离固定端距离为y处的位移为

。当质体m在任一瞬时的速度为

时，弹簧上离固定端距离y处的微段dy的相应速度为

。

令ρ为弹簧单位长度的质量，弹簧微段dy的质量为ρdy，则弹簧微段dy的动能为：

所以整个弹簧的动能为：

取m'=ρl，则：

显然，整个系统的总动能为质体m的动能与弹簧的动能之和。当质体m经过平衡位置时，系统的最大动能为：

系统的最大势能仍与不计弹簧质量的情况相同，即：

由机械能守恒定律可知，Tmax=Umax，即：

如前述，质体m做简谐振动，则有：

由

得到：

所以：

上述计算结果说明，当考虑弹簧质量对系统的影响时，只需把弹簧质量的1/3加入质体m上求解固有频率，便会得到精度较高的近似值。例如，m'=m时，误差仅为0.75%；当m'=0.5m时，这一近似值与准确解比较，误差为0.5%；而当m'=2m时，误差仅为3%。