人工智能–EM算法

人工智能之EM算法

前言：人工智能机器学习有关算法内容，请参见公众号“科技优化生活”之前相关文章。人工智能之机器学习主要有三大类:1)分类;2)回归;3)聚类。今天我们重点探讨一下EM算法。 ^_^

参数估计问题需要在x-y坐标系中找一个曲线的极值，然而曲线函数不能直接求导，因此之前介绍的GBM[请参见人工智能(51)]和GBDT[请参见人工智能(52)]等梯度下降法就不再适用了。于是人们想到固定一个变量后，另外一个可以通过求导得到，因此可以使用坐标上升法，一次固定一个变量，对另外的求极值，最后逐步逼近极值。这就是今天要跟大家介绍的EM算法。

EM算法是一种迭代算法，1977年由Dempster,Laind,Rubin提出，用于含有隐变量（Hidden Variable）的概率模型参数的极大似然估计或最大后验估计，其中概率模型依赖于无法观测的隐藏变量。EM算法可以从非完整数据集中对参数进行 MLE估计，是一种非常实用的学习算法。

EM算法是一个基础算法，是很多机器学习领域算法的基础，比如隐式马尔科夫算法（HMM），LDA主题模型的变分推断等。它可以广泛地应用于处理缺损数据，截尾数据，带有噪声等所谓的不完全数据。

EM算法概念：

如果使用基于最大似然估计的模型，模型中存在隐性变量或数据缺失，就不能直接使用最大似然估计方法，于是EM算法就开始粉墨登场了。

EM算法（Expectation Maximization Algorithm）指的是最大期望算法，又译成期望最大化算法。它是一种迭代算法，在统计学中被用于寻找，依赖于不可观察的隐性变量的概率模型中，参数的最大似然估计。

EM算法解决原函数的MLE很可能求不出问题，可能是函数太复杂或数据缺失等引起。可以用这个缺失数据的期望值来代替缺失的数据，而这个缺失的数据期望值和它的概率分布有关。那么通过对似然函数关于缺失数据期望的最大化，来逼近原函数的极大值。

EM算法本质：

EM算法本质就是这样的：假设估计知道A和B两个参数，在开始状态下二者都是未知的，并且知道了A的信息就可以得到B的信息，反过来知道了B也就得到了A。可以考虑首先赋予A某种初值，以此得到B的估计值，然后从B的当前值出发，重新估计A的取值，这个过程一直持续到收敛为止。

EM算法描述：

假定集合Z = (X,Y)由观测数据 X 和未观测数据（隐变量数据）Y 组成，X 和Z = (X,Y)分别称为不完整数据（incomplete-data）和完整数据（complete-data）-X和Y连在一起才成为完整数据。

假设Z的联合概率密度被参数化地定义为P(X,Y|Θ)，其中Θ表示要被估计的参数。Θ的最大似然估计是求不完整数据的对数似然函数L(X;Θ)的最大值而得到的:

L(Θ;X)= log p(X|Θ) = ∫logp(X,Y|Θ)dY ----（1）

EM算法包括两个步骤:由E步和M步组成，它是通过迭代地最大化完整数据的对数似然函数Lc(X;Θ)的期望来最大化不完整数据的对数似然函数，其中:

Lc(X;Θ)=log p(X,Y |Θ) ----（2）

假设在算法第t次迭代后Θ获得的估计记为Θ(t) ，则在(t+1)次迭代时，

E-步:计算完整数据的对数似然函数的期望，记为:

Q(Θ|Θ(t)) = E----（3）

M-步:通过最大化Q(Θ|Θ(t) ) 来获得新的Θ 。

通过交替使用这两个步骤，EM算法逐步改进模型的参数，使参数和训练样本的似然概率逐渐增大，最后终止于一个极大点。直观地理解EM算法，它也可被看作为一个逐次逼近算法:事先并不知道模型的参数，可以随机的选择一套参数或者事先粗略地给定某个初始参数λ0 ，确定出对应于这组参数的最可能的状态，计算每个训练样本的可能结果的概率，在当前的状态下再由样本对参数修正，重新估计参数λ，并在新的参数下重新确定模型的状态，这样通过多次迭代，循环直至某个收敛条件满足为止，就可以使得模型的参数逐渐逼近真实参数。

EM算法主要目的是提供一个简单的迭代算法计算后验密度函数。

注： 公式（3）是EM算法的核心，称为Q函数。

简而言之，EM算法实质是：

1）E步：固定模型参数的值，优化隐含数据的分布；

2）M步：固定隐含数据分布，优化模型参数的值；

3）交替将极值推向最大。

EM推导简介：

EM算法公式推导过程非常复杂。个人认为，理解EM算法思想远比公式推导重要。

大致介绍一下推导过程：

1）写出带有隐变量的似然函数；

2）利用Jensen不等式，取到该似然函数的下界，并确定隐变量的分布；

3）利用已知的隐变量分布去更新参数，使用MLE更新参数；

4）极大似然估计是单调增加的，因此结果最终收敛到某个固定极值。

EM算法步骤：

1.计算期望(E)，利用概率模型参数的现有估计值，计算隐藏变量的期望；

2.最大化(M)，利用E 步上求得的隐藏变量的期望，对参数模型进行最大似然估计。

M步上找到的参数估计值被用于下一个 E 步计算中，这个过程不断交替进行。

EM算法具体步骤如下:

1）初始化分布参数。

2）重复直到收敛:

a) E步骤:估计未知参数的期望值，给出当前的参数估计。

b) M步骤:重新估计分布参数，以使得数据的似然性最大，给出未知变量的期望估计。

EM算法结果

EM算法不一定能保证获得全局最优解，但如果我们优化的目标函数是一个凸函数，那么一定能保证得到全局最优解。否则可能获得局部最优解。因为如果优化的目标函数有多个峰值点，则如果优化到某个不是最高的峰值点处，则会无法再继续优化下去，这样获得的是局部最优解。

EM算法优点：

1）算法简单；

2）算法稳定；

3）适用面广。

EM算法缺点：

1）容易陷入局部最优，不一定能保证获得全局最优解；

2）算法对初值选取比较敏感。

EM算法应用：

EM最大期望算法经常用在机器学习和计算机视觉的数据聚类领域。EM算法的应用范围很广，基本机器学习需要迭代优化参数的模型在优化时都可以使用EM算法。

结语:

EM算法是一个迭代算法，是很多机器学习领域算法的基础。1977年由Dempster等人提出，用于含有隐变量（Hidden Variable）的概率模型参数的极大似然估计或最大后验估计。EM算法从非完整数据集中对参数进行极大似然估计，算法每次迭代包含两步：E步-求期望；M步-求极大化。EM算法是一种非常实用的学习算法，应用范围很广，基本机器学习需要迭代优化参数的模型在优化时都可以使用EM算法。

------以往文章推荐-----