玩转量子力学：教你用Python模拟量子隧穿

想象一下：一个球滚向一座小山会发生什么？按照经典物理学，如果球的动能不足以越过山丘，它就会停在山前。

然而，在量子世界中，有时我们会发现这个球神奇地"穿越"到了山的另一边。这种现象就是量子隧道效应。

本文将详细介绍如何使用Python建立量子隧道效应的数值模型。记录这个过程不仅能帮助读者理解，也便于日后在量子力学教学中查阅和复现。

首先，我们需要处理描述粒子行为的一维薛定谔方程。通过数学推导，我们可以将波函数Ψ分解为位置函数ψ(x)和时间函数f(t)的乘积。

经过适当的数学变换，并假设势能V仅与位置x有关，我们可以得到一个重要的结论：方程两边必须等于一个常数，这个常数就是粒子的能量E。

为了简化讨论（使我们能够专注于Python实现），我们可以得到以下与时间和空间相关的方程：

为了求解这个微分方程，我们采用有限差分法。这种方法将连续的波函数离散化为有限个点：

需要注意的是，由于边界条件的限制，ψ-0和ψ-6的值必须为零。这个边界条件对于我们的数值方法来说至关重要。

通过有限差分法，我们可以将二阶导数表示为：

接下来使用Python代码实现

首先导入必要的Python库：

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

接下来设置基本参数：

# 基本常数和参数设置

m = 1 # 质量

hbar = 1 # 约化普朗克常数

N = 1000 # 空间点数

xmin = -6.5 # 左边界

xmax = 6.5 # 右边界

x = np.linspace(xmin, xmax, N+1)

dx = x[1]-x[0] # 空间步长

Ep = 5 # 脉冲能量

p = 40 # 动量

k0 = np.sqrt(2*Ep)

sig = 0.15 # 高斯包宽度

x0 = 2 # 初始位置

通过运行上述代码，我们可以观察到波包是如何与势垒相互作用的。在不同的势垒高度下，我们会看到不同的量子隧穿现象。建议读者可以通过调整参数来观察不同条件下的结果。

这个模型虽然简单，但很好地展示了量子力学中的基本概念。通过调整势垒的高度和形状，读者可以深入理解量子隧穿效应的特性。