2024 CSP-S组 初赛真题解析14

一、 单项选择题（共15题，每题2分，共计30分：每题有且仅有一个正确选项）

14 设有一个长度为n的01字符串，其中有k个1，每次操作可以交换相邻两个字符。在最坏情况下将这k个1移到字符串最右边所要的交换次数是多少? ( )

Ak

Bk*(k-1)/2

C(n-k) *k

D(2n-k-1)*k/2

解析：

背景知识：

贪心算法

贪心算法是一种在解决优化问题时常用的策略性算法。其核心思想在于，在每一个决策点上，都做出当前看来最优的选择，期望通过一系列局部最优决策来达成全局最优的结果。它并不对所有可能的解决方案进行详尽的搜索，而是基于当前状态快速做出选择。不过，贪心算法并非适用于所有问题，只有当问题具备贪心选择性质（即通过局部最优选择可以得到全局最优解）和最优子结构性质（问题的最优解包含其子问题的最优解）时，才能保证得到的结果是全局最优的。在本题中，为了将

个 1 移到字符串最右边，我们采用贪心策略，每次都优先让最左边的 1 向右移动，因为这样的局部最优操作有助于整体上以相对高效的方式完成所有 1 的移动，避免了复杂且不必要的交换过程，尽管我们分析的是最坏情况，但这种贪心的思想依然贯穿其中。

排列组合思想

排列组合是组合数学领域里的基础概念，主要用于解决计数相关的问题。排列着重考虑从给定数量的元素中选取特定数量的元素，并按照一定顺序进行排列的情况，不同的排列顺序被视为不同的结果；而组合则只关注从给定元素中选取特定数量的元素，不考虑这些元素的排列顺序。在实际问题中，排列组合思想能够帮助我们清晰地分析各种元素的分布和组合情况，计算出满足特定条件的组合或排列的数量。在本题中，我们需要分析字符串中 0 和 1 的排列情况，因为 1 在字符串中的初始位置不同，其移动到最右边所需的交换次数也不同。通过运用排列组合的思想，我们可以准确地考虑每个 1 所处的位置以及它周围 0 的分布，从而确定每个 1 移动的交换次数，进而计算出总的交换次数。

数列求和

数列求和是数学中对按照一定规律排列的数进行累加的操作。数列是按照一定次序排列的一列数，不同类型的数列具有不同的求和方法。例如，等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，其求和公式为

，其中

为项数，

为首项，

为末项；等比数列则是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列，也有相应的求和公式。在解决实际问题时，当我们遇到需要计算一系列有规律的数值总和的情况，就会用到数列求和的方法。在本题中，为了计算将

个 1 移到字符串最右边的总交换次数，我们需要对每个 1 移动所需的交换次数进行累加。这些交换次数构成了一个有规律的数列，通过对这个数列进行求和，我们就能得到最终的结果，从而准确地得出在最坏情况下所需的交换次数。

知识点分类：

算法-基础算法-贪心法

答案解析：

选项 A：

若交换次数为

，意味着每个

仅进行了一次交换就到达了最右边的位置。但实际上，要将

个

从它们在字符串中的初始位置移到最右边，每个

通常需要经过多次与相邻

的交换才能到达指定位置。例如，当

，

，字符串为 “

” 时，将两个

移到最右边，至少需要

次交换，远大于

。所以选项 A 错误。

选项 B：

通常是从

个元素中选取

个元素的组合数

的计算公式，它表示的是从

个不同元素中取出

个元素的组合情况的数量。在本题将

个

移到字符串最右边的问题中，这个式子与交换次数没有直接的逻辑关联。交换次数主要取决于

左边

的数量以及

的位置，而不是从

个

中选

个的组合情况。所以选项 B 错误。

选项 C：

在最坏情况下，可认为

个

集中在字符串的最左边。此时，为了将每个

移到最右边，都需要穿过其右边的

个

，也就是每个

都需要进行

次交换操作。那么

个

总共需要的交换次数就是

个

相加，即

。例如，对于字符串 “

”（

，

），第一个

要移到最右边需要移动

次（穿过

个

），第二个

同样需要移动

次，总共就是

次。所以选项 C 正确。

选项 D：

这个式子在本题的情境中没有直接的实际意义。它无法对应到将

个

移到字符串最右边的合理操作过程和交换次数的计算逻辑。通过分析移动

的过程可知，关键在于

右边

的数量，而此式不能准确反映这种数量关系。所以选项 D 错误。

所以本题的正确答案应该选C。