一文讲清楚：光学傅里叶变换

傅里叶变换（Fourier Transform, FT）作为数学史上最伟大的公式之一，广泛应用于图像处理、声音信号分析、天文学和分子光谱学等领域。特别是在光学领域，傅里叶变换及其快速算法（FFT）更是无处不在，为理解和操控光波提供了强大的工具。通过傅里叶变换，我们可以深入解析光波的空间频率成分，并对其进行精确控制。从混沌到秩序，傅里叶变换以其独特的魅力改写了人类对自然界的认知。

一、基础概念与定义

1. 空间频率：在傅里叶光学中，空间频率是指单位长度内光波重复变化的次数，是描述光场衍射特性的重要参数，可以用来表征图像中不同区域的精细程度。它不仅具有大小还具有方向，类似于时间频率在时间域中的概念（电子学中我们说频率是指时间上的频率，也就是单位时间信号重复的次数，比如一个50Hz的信号就表明一秒钟该信号重复了50次）。通过傅里叶变换，任何单色波可以由不同方向的平面波叠加合成，具体计算时，空间频率可通过波矢方向余弦与光波长倒数的乘积确定。

2.傅里叶变换（FT）：傅里叶变换是一种数学工具，用于将时域或空域中的函数转换成频域表示。对于光学系统而言，它可以将电场的空间分布转换为其组成的空间频率成分，这对于理解光波传播规律至关重要。

3. 快速傅里叶变换（FFT）：FFT是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）的算法，极大地提高了计算效率，使得大规模数据处理成为可能。在COMSOL Multiphysics等软件中，FFT被广泛应用于模拟光学现象。

TIPS：傅里叶变换（FT）与快速傅里叶变换（FFT）的区别

傅里叶变换（FT）是一种将时间域信号转换为频率域的数学工具，用于分析信号的频率成分，其计算复杂度O(N*N)，适合小规模数据或连续信号的理论分析。而快速傅里叶变换（FFT）是傅里叶变换的高效算法，利用分而治之策略将计算复杂度降低至 O(NlogN)，特别适合大规模离散信号的频域分析。FFT 在实际应用中极大地提高了计算速度，广泛应用于音频、图像和通信系统等领域。简而言之，FT 更适合理论研究，而 FFT 则是现代信号处理中的核心工具，适用于大规模数据处理和实时应用。

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