圆的面积，球的表面积、体积公式，是怎么推导出来的？

正方形、长方形的面积好算。

把规则的图形切成单位为1的小块，面积就是一个简单的乘法算式。

看下图。

甚至三角形，也好说。

两个三角形一拼接就是个平行四边形。

平行四边形容易变形，一推就是正方形、长方形。

看下图。

那五边形、六边形……也好说，切成三角形。

那圆呢？

圆的边可是曲线，怎么去计算圆的面积呢？

我们来看看阿基米德的天才证明。

阿基米德把圆想象成一个披萨，披萨切小块，排列在一起。

只要切的足够多，排列在一起就非常像一个长方形。

那么，这个长方形的面积就等于圆的面积，也就是圆的半个周长乘以半径。

圆的周长是不难测量的，问题是能不能固定一个公式？

阿基米德又进一步想了。

一个圆内接一个多边形，只要这个多边形的边足够多，就越是逼近这个圆的面积，同时也越逼近圆的周长。

其实很早之前希腊人就知道圆的面积和半径的平方有关系。

但是他们不知道π。

阿基米德觉得圆的周长跟直径之间肯定有什么关系。

于是，阿基米德通过96边形，又结合勾股定理（跟直径配合，构造直角三角形，计算多边形的周长），硬生生算出了π的最终值：大于3+10/71而小于3+10/70。

不得不说，威武。

这就等于把π限定在了一个具体的范围里。

关系找到了——如此一来，圆的周长有了固定的公式，2πr。

代入上面说的圆的面积计算方式，得到圆的面积公式πr²。

其实阿基米德利用了微分思想——无限分割。

局限于时代，当时微积分还没产生，产生之后，圆的面积公式……更好算了，好不好！

只不过式子有点儿长，看起来挺吓人的。

其实就是解个题，只需要做一些推导。

这里用到了定积分和三角函数的变换，我之前有文章分享过。

微积分就是个工具，且是很好用的工具。

如果想了解更多，推荐一本入门书《疯狂微积分》。

好，说回圆。

有了面积，我们再说说球的表面积。

球体的表面积阿基米德还是很天才地想出了证明方法。

他设计了一些三角形，这些三角形围绕直径旋转，就有了球体的内接多边形。

然后把内接多边形的表面积相加近似，得出了球体的表面积。

还是微积分思想。

阿基米德的开创想法，不是人人都行。

但是有了微积分，好多人都仿佛有了阿基米德的能力。

咱们来看。

以上图片来自《数学与生活》这本书。

这里用了定积分。

看最后这个公式，是从a积分到b，而球体的面积则是从-r积分到r。

代入到最后这个式子之后，就是球体表面积4πr²。

体积呢？

阿基米德是用浮力，计算相当复杂。

还是硬算。

把球体分成小切片，然后放到水中，观察水里每个小切片所占的体积和产生的浮力，以及容易液体水位的升高。

可见这个过程是非常复杂的，咱们没有那个金刚钻，但是咱们可以用微积分这个工具，用上微积分就简单许多。

这里要用到微积分的核心公式——牛顿莱布尼茨公式，又叫基本公式。

有机会我再写写，这个基本公式可谓是屠龙刀，让普通人的数学功力，硬生生提高了。

好，今天的分享就到这里。