动态规划法（八）最大子数组问题（maximum subarray problem

问题简介

  本文将介绍计算机算法中的经典问题——最大子数组问题（maximum subarray problem）。所谓的最大子数组问题，指的是：给定一个数组A，寻找A的和最大的非空连续子数组。比如，数组 A = [-2, -3, 4, -1, -2, 1, 5, -3]， 最大子数组应为[4, -1, -2, 1, 5],其和为7。

  首先，如果A中的元素全部为正（或非负数），则最大子数组就是它本身；如果A中的元素全部为负，则最大子数组就是第一个元素组成的数组。以上两种情形是平凡的，那么，如果A中的元素既有正数，又有负数，则该如何求解呢？本文将介绍该问题的四种算法，并给出后面三种算法的Python语言实现，解决该问题的算法如下：

暴力求解

分治法

Kadane算法

动态规划法

  下面就这四种算法做详细介绍。

暴力求解

  假设数组的长度为n，暴力求解方法的思路是很简单的，就是将子数组的开始坐标和结束坐标都遍历一下，这样共有n(n-1)/2中组合方式，再考虑这所有组合方式中和最大的情形即可。

  该算法的运行时间为O(n^2),效率是很低的。那么，还有其它高效的算法吗？

分治法

  分治法的基本思想是将问题划分为一些子问题，子问题的形式与原问题一样，只是规模更小，递归地求解出子问题，如果子问题的规模足够小，则停止递归，直接求解，最后将子问题的解组合成原问题的解。

  对于最大子数组，我们要寻求子数组A[low…high]的最大子数组。令mid为该子数组的中央位置，我们考虑求解两个子数组A[low…mid]和A[mid+1…high]。A[low…high]的任何连续子数组A[i…j]所处的位置必然是以下三种情况之一：

完全位于子数组A[low…mid]中,因此

low≤i≤j≤mid.

完全位于子数组A[mid+1…high]中,因此

mid

跨越了中点，因此

low≤i≤mid

因此，最大子数组必定为上述3种情况中的最大者。对于情形1和情形2，可以递归地求解，剩下的就是寻找跨越中点的最大子数组。

  任何跨越中点的子数组都是由两个子数组A[i…mid]和A[mid+1…j]组成，其中

low≤i≤mid

且

mid

.因此，我们只需要找出形如A[i…mid]和A[mid+1…j]的最大子数组，然后将其合并即可，这可以在线性时间内完成。过程FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY接收数组A和下标low、mid和high作为输入，返回一个下标元组划定跨越中点的最大子数组的边界，并返回最大子数组中值的和。其伪代码如下：

  有了FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY我们可以找到跨越中点的最大子数组，于是，我们也可以设计求解最大子数组问题的分治算法了，其伪代码如下：

  显然这样的分治算法对于初学者来说，有点难度，但是熟能生巧, 多学多练也就不难了。该分治算法的运行时间为

O(n∗logn).

Kadane算法

  Kadane算法的伪代码如下：

  Kadane算法的简单想法就是寻找所有连续的正的子数组（max_ending_here就是用来干这事的），同时，记录所有这些连续的正的子数组中的和最大的连续数组。每一次我们得到一个正数，就将它与max_so_far比较，如果它的值比max_so_far大，则更新max_so_far的值。

动态规划法

   用MS[i]表示最大子数组的结束下标为i的情形，则对于i-1，有：

这样就有了一个子结构，对于初始情形，

MS[1]=A[1].

遍历i, 就能得到MS这个数组，其最大者即可最大子数组的和。

MS[i]=max(MS[i−1],A[i]).

总结

   可以看到以上四种算法，每种都有各自的优缺点。对于暴力求解方法，想法最简单，但是算法效率不高。Kanade算法简单高效，但是不易想到。分治算法运行效率高，但其分支过程的设计较为麻烦。动态规划法想法巧妙，运行效率也高，但是没有普遍的适用性。

Python程序

   下面将给出分治算法，Kanade算法和动态规划法来求解最大子数组问题的Python程序， 代码如下：

输出结果如下：

参考文献

算法导论（第三版） 机械工业出版社

https://www.geeksforgeeks.org/largest-sum-contiguous-subarray/

https://algorithms.tutorialhorizon.com/dynamic-programming-maximum-subarray-problem/

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