专访Vasudevan Srinivas｜代数几何：结合几何直觉与数论

2024未来科学大奖周

2024年10月，塔塔基础研究所特聘教授Vasudevan Srinivas来到了未来科学大奖周现场，让我们一起听听他都分享了哪些关于几何代数的精彩看法！

Q1：您的主要研究方向是什么？

Vasudevan Srinivas：我研究的领域是代数几何。

众所周知，在数学中，我们从一些基本的东西出发，关于数字、关于形状。再稍微深入一些，我们试图把这些东西放在一起，去做更高级的过程，这涉及到无限或连续的事情，这些都是基本的东西。

但是，还有其他的结构和数学，把这些东西带到更高的层次，将几个基本的事物结合起来。代数几何就是这样的领域，它结合了数论、几何、代数、计算，所有这些一起尝试和研究一些问题。

Q2：代数几何的研究对象是什么呢？

Vasudevan Srinivas：一种定义是，这些空间是某些类型的方程组的解，其特别之处在于方程的类型，这些就是所谓的多项式方程，比如X的平方加y的平方加Z的平方等于17。就像这样，它涉及一些方程，它不同于sin(x)加上cos(y)再加上某些三角函数，三角函数方程比多项式方程更复杂，这（三角函数方程）是更复杂的不同类型的方程。代数几何涉及多项式，它们是线性函数之外最简单的函数。

Q3：您现在想解决的重要问题是什么？

Vasudevan Srinivas：我自己对代数几何的某些方面很感兴趣，这与数论有点关系。所以代数几何是这样一种东西，一方面，你可以运用我们从空间等方面获得那种几何直觉 ，从我们周围的世界中(获得)，但同时，你可以把这种直觉转换成来自数论的问题，比如有限域和模运算。与此相关，（这里面）存在某些与几何中结构类似的结构。我正在研究一些覆盖空间的东西，他们称呼它们（覆叠空间）。在过去的几年里，我一直在数论的背景下研究与此相关的东西。

Q4：代数几何是如何推进其他基本原理的？

Vasudevan Srinivas：因为这是一门更高层次的学科，它实际隐含在你可以在不同领域进行的多种类型的计算中。

然而，如果我可以这样说的话，更抽象的主题需要时间才能渗透到数学的其他部分。从这个意义上说，代数几何是那些越来越渗透到数学的不同部分的东西之一，但在纯数学的层面上，这种情况仍有发生的空间。它是一门基础学科，贯穿于许多纯数学之中，影响着它。

Q5：那么代数几何与我们的日常生活有什么联系呢？

Vasudevan Srinivas：代数几何的一些方面也与物理学有关，或者，至少与这门学科的这些部分有关，可以说是相互交流，这是代数几何的一个方面。还有一个方面与数论有关，还有第三个方面，它与微分几何之类的东西有关，类似的东西基本上与纯数学有关。

因此，与日常生活的直接联系不是那么容易马上找到，但仍然有背后的应用，与编码有关的事情，例如，纠错码，某些代数几何理论被运用于这些东西的设计，这是事情的一个方面。

但我不是这个领域的专家，但我确实认识一些人，他们来自其他类型的数学相关领域，甚至是被（某些）来自商业等领域的东西所启发的问题，（它需要）对大量的数字数据集进行操作。无论如何，代数几何帮助这些人进行计算，我不能说我个人理解它是如何运作的，但我知道有人这样做。

Q6：你是如何走上学习代数几何问题的道路的？

Vasudevan Srinivas：作为一名学生，我最初对数论很感兴趣，然后我决定，无论如何，为了正确地理解数论，我必须先学习代数几何，不管怎么着，我最终转向了那个话题。我仍然对数论感兴趣，但我不是该领域的专家，不是研究阿尔伯特几何方面的专家。

我喜欢代数几何的原因在于，也许我应该说说这种体系架构，它将纯数学的不同部分以及它们之间的联系结合在一起，这正是这门学科的美妙之处之一。你可以运用数学某一领域的知识来研究一个问题，而这个问题看似源自另一领域，它们之间的关联并不是很明显，尝试去发现这些关联是一件很有趣的事。

Q7：在你的职业生涯中，你解决过的最困难的问题是什么？

Vasudevan Srinivas：很难说一个特定的问题是更难还是更容易，当你做这件事的时候，它似乎很难，20年后，你会想也许我本可以更聪明，更快地解决这个问题。这样一个问题，我当时很满意对它的解答，就像我之前试图解释的那样，我试图找出一族空间的维数，我试图找出某些空间的维数，某些空间的维度，我想知道维度是如何变化的，这些空间是复数上的空间，通常的向量空间，但为了解决这个问题，我必须找到（它）与某些被称为p进数的东西之间的联系，这是数论中的东西，当时还不能马上看出它与这个问题有什么关系，但这才是真正的真知灼见，这并不明显，我很高兴自己设法发现了这种联系，仅此而已。

Q8：人工智能会给数学带来什么影响？

Vasudevan Srinivas：人工智能似乎已经在影响数学研究的某些特定领域，有很好的文章，但量子杂志上有文章解释了为什么会有这样的例子，人们已经使用人工智能来做纯数学研究。

一件事是，一位名叫朱迪·威廉姆森的数学家，他和他的合作者设法获取了大量的数据集，这些数据集来自于纽结理论，结是特定的结构，就像你打了个结，这些事情是有数学基础的，纽结理论是一个活跃的研究领域，有很多关于纽结的数据，人工智能被用来预测某些纽结不变量可能与某些其他不变量相关，这并不明显，数学家没有预料到这个关系，但人工智能发现了这个关系，人工智能曾提出，这个不变量一定与另一个不变量，人工智能提出了这个关系，然后他们做了实验，删除了一点点数据，（研究）结论如何变化，数据的哪些部分是重要的，人工智能又一次能够帮助他们，然后他们可以提出一个数学程序，然后他们实施这个程序，这是人工智能所在的地方，就像是研究中的合作伙伴。

所以有一些例子，任何涉及大量数据的东西，你想要有意义，数据太多了，有没有我意识不到的模式，数据实在是太多了，计算机也许能够看到人类很难直接看到的模式。

当我做研究时，有时我必须对问题进行计算，来发展我的直觉，AI和那些东西可以做其他类型的计算，这对我们人类来说并不容易，这样才能有所帮助。

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视频出品：科普中国-创作培育计划