最优控制理论笔记总结（26）——离散欧拉方程与离散横截条件表达式推导

为求解离散系统的最优控制，需要给出对应的离散欧拉方程和离散横截条件，这就是本次笔记的核心内容。

欧拉方程与横截条件表达式推导：

设性能指标为：

若系统存在极值解 x* ，则 x*(i) 和 x*(i+1) 邻域内的 x(i) 和 x(i+1) 可表示为：

其中，δx(i) 和 δx(i+1) 是 x(i) 和 x(i+1) 的变分。（变分及其求解法可以参看本公众号往期内容，此处不再赘述：最优控制理论笔记总结（3）——泛函与变分（上）、最优控制理论笔记总结（4）——泛函与变分（下））

所以带入性能指标可得：

所以，当 x(i) = x*(i) 时，J 达到最小，等价于 α = 0 时，J(α) 达到最小。

因为

所以可得：

对上式左侧的第二项进行离散分布积分，得到：

由于 δx(i) 是任意的，所以得到极值的必要条件为：

上面第一个式子就是离散欧拉方程，第二个式子就是离散横截条件。

若给定初始条件 x0 = x(0) ，而终端为自由的，则有条件：

读者可以尝试对过程进行推导，以加深公式印象。如有疑惑也可私信交流。

本阶段全套笔记：

【最优控制理论与仿真】

公众号内还有：

【经典控制理论】全套笔记

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【非线性控制理论】全套笔记

【车辆动力学】全套笔记

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