从黑尔戈兰岛到汉堡：量子力学圣地百年巡礼

黑尔戈兰(Helgoland或Heligoland)岛位于北海，19世纪末以来属于德国，在海岸线外约70公里。黑尔戈兰岛名称有“神圣之地”的意思。巧的是，在现实中，它是量子力学的圣地。

▲黑尔戈兰岛。图源：Carsten Steger（Wikimedia Commons）

去黑尔戈兰岛的船往往从汉堡（Hamburg）来回。汉堡，即汉堡包(Hamburger)的故乡，是德国第二大城市，位于易北河与比勒河的入海口处，距离北海110多公里，汉堡港是德国最大的港口。在人们对量子力学史的印象中，汉堡不如哥本哈根、哥廷根和黑尔戈兰岛那么引人注目，其实它也是量子力学的圣地。

黑尔戈兰岛上的晨曦

黑尔戈兰岛之所以成为量子力学的圣地，一个意外的原因是这里几乎没有植被，没有花粉。1925年，24岁的海森堡（Werner Heisenberg）受严重的花粉症困扰，于是逃避到黑尔戈兰岛，度过了两周不到的时间。

海森堡同时也被量子力学的难题所困扰。不知道是不是花粉之苦的消失激发了他的创造力，他取得了从老量子论到新量子力学的突破，迈出了量子力学的关键一步。某个夜间，在岛南的一个海边旅店二楼的房间里，他突然意识到玻尔-克雷默斯-斯莱特(BKS)理论（其中能量不守恒）已被抛弃，能量必须守恒，这使得他在用于讨论电磁辐射和色散的非简谐振子的能量表达式中，将位移用相应的联系初态和末态的一个量代替，仍然保持守恒。当晨曦降临的时候，矩阵力学（量子力学的第一种形式）的关键思想也降临了。

海森堡回到德国大陆，必经汉堡。当时，汉堡居住着他的大一岁的师兄泡利。与海森堡的期待相反，泡利没有给以批评和挖苦，而是报以热情的鼓励，希望他沿着这条路走下去。这个不寻常的反应给了海森堡极大的鼓舞，因此海森堡回到哥廷根后，一直向泡利通报进展。

海森堡的进展也给泡利带来了希望。2025年5月21日，泡利在给克罗尼格的信中说：“物理学再次进入死胡同。” 而10月9日，他又致信克罗尼格：“海森堡的力学让我恢复了对生活的兴趣。”

海森堡一直步泡利后尘。泡利1918年10月进入慕尼黑大学，后来成为索莫非（Arnold Sommerfeld）的研究助手，1921年10月到哥廷根，成为玻恩(Max Born)的助手。1922年10月，泡利接受了汉堡的楞次提供的职位。1923年又去哥本哈根访问玻尔一年。而海森堡1920年10进入慕尼黑大学，立即师从索莫非，1922年海森堡也来到哥廷根，成为玻尔的助手，一个冬天后，在泡利的鼓励和玻尔的邀请下，又去访问了玻尔几个月。1922年玻尔到哥廷根讲学，俗称玻尔节，期间玻尔热情邀请来自汉堡的泡利去他的研究所访问，并对来自慕尼黑的海森堡印象深刻。

泡利在汉堡一直待到1928年移居苏黎世，就任联邦工学院教授。

▲海森堡

▲泡利

黑尔戈兰岛突破的前因

海森堡在黑尔戈兰岛上的突破导致了新的量子力学的矩阵力学表示。矩阵力学最早几篇论文于1925年发表或者完成。

在整个量子力学发展史上，相对于普朗克、爱因斯坦、玻尔的“老量子论”而言， “新量子力学”是从“老量子论”发展而来，解决了“老量子论”不能解释的问题。 “老量子论”的辉煌成就包括普朗克量子假设、爱因斯坦光量子论、玻尔原子模型等等。它并不是独立而自洽的理论体系，而只是在经典物理学基础上，增加一些新的规则，即所谓的量子条件，用对应原理将经典物理的结果翻译成量子结果。对应原理最早由玻尔于1918年提出，是说在某些极限情况下，量子结果退化为经典结果。

面对层出不穷的新实验现象，主要是光谱（特别是多电子原子的光谱），反常塞曼效应，等等，“老量子论”遭遇种种困难。为了解决这些困难，新量子力学应运而生，是全新的理论体系。其中很多工作是关于发出或吸收光子的量子跃迁。

海森堡的突破与色散问题直接相关，这是物质和辐射相互作用的重要问题。色散是指材料对光的折射依赖于光的频率。

1900年，德鲁德（Paul Drude）提出经典色散理论，通过电场力作用下的非简谐振子模型，算出电极化与电场强度的关系，即电极化率，给出色散关系。同一年，普朗克推导黑体辐射谱时，也用了电场力作用下的非简谐振子模型，说明这是当时普遍考虑的模型。

1916年，爱因斯坦提出他的辐射理论，提出原子中的电子与辐射相互作用，有自发吸收、自发辐射和受激辐射三个过程。

1921年，拉登堡（Rudolf Ladenburg）将爱因斯坦的辐射理论与德鲁德的色散理论结合起来，根据对应原理，将振子的能量损失等同于辐射的吸收，并借助于1900年普朗克（Max Planck）给出的电磁场能量与振子能量的关系，得到了电极化率爱因斯坦吸收系数的关系。1924年，克莱默斯（Hendrik Kramers）将此结果推广到对所有末态求和的情况。

1922年，达尔文（Charles G.Darwin）提出，当电磁波与原子作用时，后者有一定概率发射出新的电磁波，能量和动量守恒不需要在微观上成立。

1924年，斯莱特（John Slater）提出，一组原子可看成一组振子，每个振子因为振动而发出的辐射作用在其他振子上，导致一定概率发生爱因斯坦所说的能量跃迁，能量和动量守恒只在统计平均下成立。

同年，斯莱特访问玻尔(Niels Bohr)研究所时，玻尔、克莱默斯和斯莱特将斯莱特的理论改造Bohr-Kramer-Slater（BKS）理论，去掉爱因斯坦理论的成分，因为玻尔当时不接受光量子概念。克莱默斯是玻尔的大弟子（埃伦费斯特的博士生，但是跟玻尔做论文），当时是玻尔研究所的“管家”。

BKS理论引起玻恩的重视，当时他正在寻找解决量子问题的理论方法。同年，他发表了一篇文章提出，因为量子跃迁没法用经典力学计算，所以经典微扰论辅以量子条件不能解决问题，而需要一个“量子力学”。这是“量子力学”一词首次出现。在这篇文章中，玻恩还给出了一个从经典力学到量子力学的方案，物理学史家雅默（Max Jammer）称之为玻恩的对应原理，就是函数在量子数的不同取值下的差别等于这个函数对这个量子数的导数乘以量子数之差。当时，海森堡作为玻恩的助手，帮助做了点计算。

1925年，海森堡在访问玻尔研究所期间，和克莱默斯合作，运用玻恩的对应原理，证明了克莱默斯前一年的电极化率结果。

至此，原子的概念变得更加抽象。非简谐振子模型和概率的概念都将被海森堡所继承。多年以后，海森堡曾经列数了我们上面提到的直接相关的前期工作：“一步一步的进步很清楚，拉登堡的文章，克莱默斯的文章，玻恩的文章，然后克莱默斯和我的文章；每篇文章都在正确的方向深入一步。”

现在我们谈到量子力学在1925年的重大突破，往往集中于理论进展。但是量子力学在1925年年初，有一个重要的实验进展，那就是玻特（Walther Bothe）和盖革（Hans Geiger）的实验。

大家都知道玻恩的诺贝尔奖于1954年虽迟但到，常令人扼腕。然而，对于与他分享这个奖的玻特及其获奖理由，大概所知较少。玻特得奖两年多后就去世了。我们看看诺奖委员会的说法：“符合法以及基于此的发现（for the coincidence method and his discoveries made therewith）”。 更详细的说法：“在计数管中，通过的粒子产生电脉冲。1929年，玻特将两个计数管连起来，只有同时有粒子通过时，才会记录下来。这意味着，要么这两个通过的粒子来自同一个事件，或者粒子运动很快，粒子在管子之间的运动事件忽略不计。玻特用这个方法证明粒子和光子碰撞时，能量是守恒的，而且用来研究宇宙辐射（In a counter tube, particles passing through the tube generate an electric pulse. In 1925 Walter Bothe connected two counter tubes together so that only simultaneous passages were registered. This meant that either the passages were caused by particles that originated from the same event or by a particle that moved so fast that the time for movement between the tubes was negligible. Bothe used the method to show that energy is conserved in impacts between particles and photons and to study cosmic radiation）。“ 这个方法有广泛的应用，所以这个奖强调了方法。但是玻特用这个方法进行了一个很重要的实验。诺奖资料也提到了。

盖革曾是卢瑟福的博士后，1908年，在卢瑟福的指导下，盖革和马斯登（Ernest Marsden）用alpha粒子轰击金箔，证明原子有核。这个人类历史上最重要的实验之一没有获得诺贝尔奖。

玻特-盖革实验就是用符合法，证明康普顿效应中，电子和光子碰撞的过程是能量守恒的。 也就是说，之前（1923年）的康普顿实验只是发现电子使得X射线的波长变化，可以用爱因斯坦的光量子论解释，但是并不能从实验上证明确实这个过程。而玻特-盖革实验完成了这个使命，也宣告了当时备受关注的玻尔-克雷默斯-斯莱特（BKS）理论的破产。 1954年，玻尔（1885–1962)还健在。

▲玻特和盖革，1930年代末。

爱因斯坦的诺奖是在1922年获得（名义上是1921年的诺奖），强调的是光量子论预言的光电效应定律，而且是在康普顿效应发现之前。很多人（包括玻尔）在玻特的实验之前不接受爱因斯坦的光量子论。

也就是说，玻特和玻恩的诺奖都是量子力学史上虽迟但到的诺奖，一个实验，一个理论。当时盖革已于1945年去世。比玻恩的遭遇还要不幸的是，玻特-盖革实验在一般的量子力学资料中提得不多，大概因为一般的作者只是参考其他的二手资料。

1925年1月5日，柏林物理学会召开80周年庆祝大会。10天后，玻恩写信告诉玻尔：“会上每个人都在谈论盖革-玻特实验，这个实验支持光量子论。爱因斯坦非常高兴。“ 不过这时，盖革和玻特本人以及玻恩还没有完全确信。

玻特-盖格实验宣布了BKS理论的破产，这使得海森堡在黑尔戈兰岛上考虑能量守恒。

黑尔戈兰岛突破的后果

海森堡的突破撕开了一个口子，引起了摧枯拉朽的后续工作。

多年后，海森堡将他的突破比作登山，在迷雾中模模糊糊看到要找的石头，从而知道自己的位置，改变了整个情况。他的登山比喻可以或多或少用于他的很多工作。杨振宁对此非常欣赏，曾专文论述，虽然从研究风格上，海森堡与杨振宁非常不一样。

海森堡将经典电磁辐射功率公式中的位移改为与始末态相关的量（下标）。 为了满足能量定态值，猜出位移的乘法规则。他将论文稿件交给玻恩后，去莱顿、剑桥、慕尼黑、Alps、哥本哈根。10月回哥廷根。

玻恩看出海森堡的论文的价值，帮他投稿。作为新量子力学的第一篇论文，海森堡（Werner Heisenberg）的论文《运动学和力学关系的量子力学解释（Uber quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechaniseher Beziehungen）》7月29日被物理学杂志（Zeitschrift für Physik）收稿。 有趣的是，文章写道：“本文寻求严格在原则上能观测到的量之间的关系基础上，建立理论量子力学（The present paper seeks to establish a basis for theoretical quantum mechanics founded exclusively upon relations between quantities which in principle are observable）.” 这是受爱因斯坦相对论方法的影响。

▲量子力学的第一篇论文

而且，玻恩认出，海森堡加了下标的物理量是矩阵。他和约当写了 “两个人的论文”，包含位置-动量对易关系（这个关系后来刻在玻恩的墓碑上），也是1925年发表。

▲玻恩的墓碑（图片来自网络）。

接着，包括海森堡在内，他们完成 “三个人的论文”，1925.11.投稿，1926.11.发表。这3篇论文创立了量子力学的矩阵力学形式。海森堡独享1932年的物理诺奖。

在海森堡的督促下，泡利用矩阵力学解出氢原子（1926.1投稿，1926年底发表）。

汉堡和量子力学

泡利在汉堡时，对量子力学的贡献当然不仅仅是催生了海森堡的矩阵力学，以及在海森堡督促下，用矩阵力学解出氢原子问题。

1923年，泡利从汉堡到哥本哈根访问约一年。当时他（以及很多同行）关注的难题是反常塞曼效应。在磁场中，每个原子能级会劈裂成若干个，正比于磁场，也正比于某个量子数。但是实验发现，它们还正比于另外一个因子g因子，这叫做反常塞曼效应，以区别于g是1的情况（正常塞曼效应）。

这个今天在教科书中一个例子，当年“引无数英雄竞折腰“，因为反常塞曼（以及氦原子问题）体现了老量子论的缺点。  泡利曾经在哥本哈根街道上被人喊住：“你看上去很不开心？” 泡利说：“当一个人思考反常塞曼效应的时候，如何能够开心呢？”。9月，玻尔和克莱默斯出访英国（后来玻尔又从那里去美国访问），泡利给波尔写了封信， 抱怨玻尔带走了克莱默斯，使得他少了一个可以讨论的对象。10月4日，泡利回到汉堡。

20岁的海森堡提出所谓的矢量模型，朗德（A. Lande）在此基础上，推导出一个g因子公式，与现在所用的公式一样。事实上，泡利曾经在给朗德的信中给出这个结果，但是他自己不满意，所以他曾经写信给朗德. 讽刺后者发表了自己得到的不喜欢的结果。

怎么解释g因子公式？物理学家伤透脑筋。当时人们将现在所知的自旋量子数(取正负1/2)归结于 1924年底，为了解决反常塞曼效应，泡利提出不相容原理，将这个量子数归结为价电子。而由于不相容原理，内层电子填满，这也解释了原子中电子轨道（壳层）的填充。特别是，这说明每个轨道的电子存在二值性，也就是说，除了轨道自由度，还有一个内禀自由度。

1924年11月，泡利将此想法写信告诉图宾根的朗德，朗德又告诉从美国来访的克罗尼格。克罗尼格将泡利的内禀自由度解释成电子绕自己的旋转（自旋）。1月，泡利来访，否定科克罗尼格的想法。克罗尼格又访问了玻尔、克雷默斯、海森堡。这些重要的物理学家也否认克罗尼格的想法。所以克罗尼格没有发表这个想法。 泡利对自己提出的这个内禀自由度也无所适从，所以有了那个著名的给克罗尼格的信中所说：“物理学再次进入死胡同。” 但是10月，荷兰埃伦费斯特的两个学生乌伦贝克和哥德斯密特独立发表了关于自旋的想法。

从1924年后期到1925年，量子力学相继取得了3个突破：不相容原理、矩阵力学第一篇文章、自旋。这三项进展对于量子革命的作用，颇为类似于三大战役对于解放战争的作用。薛定谔关于波动力学的6篇文章从1926年1月开始发表。

自旋的提出是不相容原理的后果。所以这些进展首先发生的地方是黑尔戈兰岛和汉堡。期待汉堡大学立个泡利雕像，黑尔戈岛上海森堡像。

物理学家对自己的英雄和英雄之地有朝圣之情。2025年6月9日开始的一周，为了纪念量子力学一百年，大概300名物理学家召开一个“黑尔戈兰岛一百年”的会议（潘建伟院士将通过网络做邀请报告）。 不过可惜的是，虽然会议第一天的日程安排在汉堡，而且要从汉堡坐船来回黑尔戈兰岛，会议宣传中，没有提到汉堡本身在量子力学史上的重要性。

（2025年6月9日草于汉堡）