牛顿引力中的一个悖论

以下文章来源于猫头鹰要去哪儿，作者JohnD.Norton

万有引力的悖论

作者：John D. Norton

原文名称：A Paradox in Newtonian Gravitation Theory Partners? 载于Proceedings of the Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association,Vol. 1992, Volume Two: Symposia and Invited Papers (1992), pp. 412-420

译者：Jay Youngs

在传统科学哲学中，我们常常赋予科学家近乎神一般的能力。唯有在万不得已的情况下，我们才会勉强接受这样的可能性：科学家并非逻辑全知，并不能立即洞察其理论承诺的所有逻辑推论。栖身于泥泞世界的现实科学研究者与这种理想形象相去甚远。事实上，他们常常会自觉甚至热切地拥抱哲学家们深恶痛绝的东西——一组逻辑上自相矛盾的命题集合。在标准逻辑中，逻辑矛盾会引发无政府状态。由此可以推导出任何命题，因此一个自相矛盾的理论可以拯救一切现象。假若牛顿提出一个自相矛盾的引力理论，我们便能先天地知道他可以随心所欲地推导出任何行星轨道。无论行星轨道是圆形、椭圆、方形还是六边形，都能在一个自相矛盾的理论中有效推导得出。这样的矛盾理论既能给出你想要的任何结论，也能同时得出与之完全相悖的结果。

在这种奇特的情境下，科学哲学家面临的挑战在于：我们能否严肃对待逻辑上自相矛盾的科学理论？若可以，又当如何实现？事实证明，学界并不缺乏包容逻辑矛盾而不陷入混乱的哲学方案。但真正稀缺的是优秀的案例研究——它们能清晰揭示哪些方案与现实的科学实践相契合。问题在于，现有的案例研究通常分为两类。要么是人为设计的「玩具」模型，其逻辑关系清晰，但与现实科学的关联却令人怀疑。要么是现实科学中的复杂实例，其科学专业性之强令人望而却步，更别提梳理其逻辑结构了。

本文旨在呈现一个逻辑矛盾的理论实例，它具有以下特征：

·这是真实且重要的科学切片，其争论直至1950年代仍见诸主流科学期刊文献；

·在传统严格逻辑意义上具有无可争议的矛盾性，即命题A与非A均可在此理论内推导得出；

·技术层面足够透明，其矛盾性几乎无需借助数学公式即可展现。

本文呈现此案例时，诚邀读者运用各自推崇的科学理论逻辑矛盾分析方法，以检验这些分析工具的实际适用性如何。

牛顿宇宙论的逻辑矛盾

此处将揭示的逻辑矛盾存在于牛顿宇宙论体系之中。该理论的基本公设可概括为：

力学公设：牛顿时空内的牛顿运动三定律；平方反比引力定律；

宇宙学公设：无限空间内均匀分布着物质。

这里要得出的基本结论是：结合牛顿引力理论的标准定理，我们可以证明

（1）空间任意点上的某测试质量（test mass）所受净引力F的大小（magnitude）与方向均可被任意指定。

因此该理论是逻辑上自相矛盾的——在该理论内部，我们既能证明测试质量所受合力为某个特定F，同时又能证明该合力并非F而是其他值。

牛顿引力场的图示化表征

为了从牛顿引力理论的公设推导出式(1)，我们本质上只需要牛顿引力场的若干属性——它们可通过力线图示直观呈现（见图1）。所需的本质属性包括：

·测试质量所受引力强度由力线密度给出，方向由力线走向指示；

·力线永不相交；

·力线仅可终止于源质量（source mass）；

·终止于源质量的力线总数与其质量成正比。

图1. 牛顿引力场的力线模型

请注意，这些属性已涵盖了牛顿引力理论的关键要素。例如，它们对于确立「在三维空间中，源质量作用于测试质量的引力必然随距离平方衰减」是充分的。

要在牛顿宇宙论框架内推导出矛盾式(1)，我们首先需要两个可由力线图证明的定理：

定理1：均匀球壳状源质量分布对其内部任意位置的测试质量不产生净引力。

证明如下：不妨假设存在着内部净引力场。该场的力线必须遵循球对称性。唯一符合此条件的力线分布是沿径向穿过球壳并相交于球心。然而球心处并无源质量存在，这种相交是不允许的。因此，球壳内部不可能存在引力场，其内测试质量所受净引力必为零。

图2. 球对称壳层内部不存在净引力场

定理2：球对称源质量分布的外部场等同于等质量源质点（point source）的外部场。

证明如下：注意到，若某引力场的力线总数固定且呈球对称分布，则该场被唯一确定（见图3）。在此情境下，因为它们的源有着相同的质量，二者的外部场具有相同的力线总数。而且，它们均以各自源质量中心为球对称点。由此可得二者外部场完全等同。

图3. 球对称源分布的外部场与具有相同质量的源质点场相同

矛盾的推导

由于牛顿引力理论是线性的，我们可以通过累加所有源质量施加的引力来计算测试质量所受的净引力。在牛顿宇宙论中，为确定测试质量所受净引力，可将无限分布的源质量分解为有限的部分。每个部分都会对测试质量施加引力（可能为零），而总净引力即为各分力的和。结果表明：源质量的不同分解方式将导致不同的总净引力。具体而言，对于任意指定的力F，我们总能找到一种源质量分解方式，使得最终净引力恰为F。

图4展示了这一推导过程：首先，我们在牛顿宇宙学内选定一个测试质量，并任意指定其受力F（任意大小与方向）。然后，我们将无限源质量分布分解为两部分一个中心球体及其周围的同心球壳层（shells）。球体的尺寸与位置经过特殊设计，使得该球体对表面测试质量施加的净引力恰好为F（定理2确保了此球体必然存在）；剩余质量按同心球壳形式分布，测试质量位于所有球壳的内部。根据定理1，所有同心球壳对测试质量不施加净引力，且中心球体单独贡献了指定力F；因此，总净引力即为F。于是我们证明了式（1）。

图4. 在牛顿宇宙学中，作用于测试质量的净引力可为任意指定的力

对矛盾的反应

尽管牛顿宇宙论的逻辑矛盾在结构上与奥伯斯佯谬（夜空黑暗之谜）相似，但该矛盾直至19世纪末才由泽利格（Seeliger）、C. 诺伊曼（Neumann）与开尔文勋爵明确提出。爱因斯坦在1910年代中期发展相对论宇宙学时，曾以此矛盾作为反衬，客观上推动了其传播。相对论宇宙学的兴起并未终结牛顿宇宙论的研究——1930年代初，米尔恩（Milne）与麦克雷（McCrea）发现，牛顿宇宙论在某些方面与相对论宇宙学有着完全相同的动力学。这一发现催生了新牛顿宇宙论的研究传统，迫使学者直面其内在矛盾。

物理学家对牛顿宇宙论矛盾性的反应可归纳为三类：

·  研究者未意识到矛盾存在，其理论推导未受阻碍。米尔恩与麦克雷的早期论文（参见Milne 1934；McCrea & Milne 1934）乃至牛顿本人可能皆属此类。

·  研究者虽意识到矛盾存在，却忽略了与合理结论相矛盾的可能推论。赫克曼与舒金（Heckmann & Schuicking 1955）、纳利卡（Narlikar 1977, pp.109-110）的研究即属此列。

·  研究者无法容忍矛盾，转而通过修正理论假设，以恢复其融贯性（参见Seeliger 1894, 1896；Einstein 1917, §1；Layzer 1954）。

在上述三类情形中，逻辑无政府状态均得以避免。但前两类情形中，究竟是如何避免的却完全不清楚：乍一看，似乎物理学家只是通过简单地忽略无政府状态来避免它！逻辑矛盾的哲学研究则预设，可能存在某种更微妙的东西在真正引导科学家避免无政府状态，此即我所谓「逻辑驱动型管控」——即通过非经典逻辑或弗协调逻辑限制某些标准推理规则的应用。

逻辑驱动型管控的困境在于：我们难以从实际从事矛盾理论研究的物理学家实践中追溯其应用痕迹。通常情况下，研究者控制逻辑无政府状态的方式缺乏显性原则可循。我们绝不会发现他们公开诉诸于修改逻辑推理基本规则这类根本性、普适性的举措。事实上，但凡可辨识的策略，似乎都植根于对手头物理理论具体内涵的反思。我将此策略命名为「内容驱动型管控」。

牛顿宇宙学的案例生动展示了这种管控是如何运作的。当理论公设自相矛盾时，研究者可从中推导出大量相互冲突的结论。我们期望这种方法能指导我们应严肃对待哪些结论，又该将哪些视为伪命题而摒弃。在牛顿宇宙学中，我们能够证明测试质量所受引力可为任意指定大小与方向。那么我们应该严肃对待哪种力呢？最简单的牛顿宇宙学是泽利格-爱因斯坦考虑的体系：其源质量分布是静态的，由此构建的宇宙学是均匀且各向同性的。在此对称性约束下，唯一的可能性便是测试质量所受净引力为零。

然而，在米尔恩与麦克雷发展的新牛顿宇宙学中，情况要复杂得多——源质量如同相对论宇宙学般经历均匀膨胀或收缩。结果表明，源质量中恰好仅有一个粒子作惯性运动，其余源质量均相对于该粒子作加速运动。因此，宇宙学不再是均匀的，仅在该粒子所在位置是各向同性的。简单的对称性考虑已不再能决定测试质量的受力。事实上，在标准的新牛顿宇宙学理论中，通常使用「球体-嵌套球壳」构造推导出测试粒子所受净引力非零，进而得出该理论的特征力分布。通过两项物理内容的考虑，研究者得以从可推导的无数种力分布中筛选出标准力分布：其一，当分析对象限定为有限均匀球状质量分布时，理论不存在内在矛盾。此时，若允许质量分布趋于无限大，其极限形式恰可还原为标准力分布；其二，标准新牛顿宇宙论的动力学与相对论宇宙学严格一致。倘若新牛顿宇宙学采用非标准力分布，这种一致性将荡然无存，二者间恰当的极限关系亦随之瓦解。

结论与一项提议

上述内容驱动型管控面临的质疑在于：其筛选标准看似是完全特设的（ad hoc）。当理论公设可推导出无数结论时，有何依据仅选取其中特定结论？一种可能方案是诉诸逻辑驱动型管控来辩护——若对牛顿宇宙学施加某种非标准逻辑限制，或可恢复内容驱动方法中看似特设的规则。这种有趣的可能性虽然值得探索，却并非唯一选项。

我们亦可在不触动基础逻辑的情况下，为内容驱动型管控提供辩护：当某经验成功的理论被发现存在逻辑矛盾时，假定该理论实为某个逻辑融贯理论的近似（后者应具有同等经验效力）是合理的。最佳解决方案自然是建构修正后的融贯理论，并摒弃矛盾体系。但如果修正理论暂不可得，还有另一选择——通过对矛盾的理论施加元层次论证（meta-level arguments），恢复修正理论的局部结论或其近似形式。

最清晰的案例是均匀各向同性宇宙学。在任何此类宇宙中（无论牛顿式与否），对称性考虑都要求测试质量所受净引力为零。因此，当我们在静态牛顿宇宙中援引对称性排除非零力时，实际上我们是在说：

「我们承认该宇宙学存在矛盾。然而，我们预计微小修正即可消除矛盾。在修正后的理论中，唯一可推导的力必满足对称性要求（即零力）。」

新牛顿宇宙学的情况类似，但更为复杂。我们假定修正后的理论在有限质量分布情形下（此时理论融贯）与标准新牛顿体系高度一致。因此，修正理论的动力学行为应趋近于有限质量分布新牛顿宇宙论在质量趋向无限时的极限形态。所以，采用新牛顿宇宙学中质量分布无限增大时的力分布，相当于间接地逼近未知修正理论的力分布。最后，我们期望该未知理论能在相对论宇宙学的牛顿极限中得以恢复。由于新牛顿宇宙学的标准力分布给出的牛顿动力学与相对论动力学相同，它仍然是未知理论力分布的最佳候选者。

总之，我的提议是，内容驱动型管控可以由元层次的论证辩护——旨在由矛盾理论间接逼近某个未知的融贯修正理论的结论。筛出的优选结论之所以重要，并不是因为它可由矛盾理论推导出来（因为矛盾理论可推导任意结论），而在于它们与修正理论结论的契合度。