铁磁流体力学 Rosensweig 模型的一种线性、能量稳定的有限元算法

董晓靖，黄华毅，黄云清，唐启立

针对铁磁流体动力学问题，我们设计了无条件能量稳定的全离散有限元算法，建立稳定性和收敛性数学理论，并基于物理模型开展数值模拟。数值模拟实验验证了理论结果，成功模拟了磁性流体的外磁场响应特性，与实际的问题较为吻合。

铁磁流体（又称磁性流体）是一种将铁磁性纳米颗粒均匀分散于基液（通常为水、油或有机溶剂）中形成的胶体悬浮体系，作为典型的具有磁-流耦合特性的功能材料，它兼具牛顿流体的流动特性与磁性材料的超顺磁性。这种独特的双重属性使其能够通过外加磁场实现精准操控——在外加磁场作用下，铁磁颗粒瞬间磁化排列，犹如被赋予生命般呈现出动态响应：既可定向输运形成功能流体，又能构建出尖峰、分形漩涡等复杂拓扑结构；而一旦撤去外加磁场，流体的所有磁性特征即刻消失，流体恢复如常，展现出与普通液体无异的流动特性，这种可逆的磁响应行为源于其零磁滞的超顺磁本质。目前，这种"智能液体"已在精密工程（如旋转轴动态密封）、生物医学（如靶向药物递送）、微流控系统（磁控微流道）及声光调控等多个前沿领域展现出革命性的应用价值。

然而，铁磁流体的"可控性"并非无序可循。其动力学行为本质上是流体运动、磁场力、纳米颗粒自旋及布朗运动等多物理场耦合的复杂系统，可类比为多体协同的精密动力学交响。为精确表征这种多物理场耦合机制，研究者建立了多种铁磁流体动力学模型。其中， Rosensweig奠基性理论框架因完整纳入流体动力学方程、磁化方程、角动量方程等核心要素，通过耦合速度场u、压力p、颗粒角速度w、磁化强度m及磁场强度h，构建完备控制方程组，成为该领域的理论基石。但求解此模型面临诸多挑战，比如处理多物理场的强非线性耦合、保证数值计算格式能量稳定性和收敛性等关键难题。

我们发表在《中国科学：数学（英文版）》（Science China Mathematics）的文章致力于为Rosensweig磁流体动力学模型构建稳定高效的有限元算法。通过严格的理论分析与数值实验验证，提出并分析了一阶线性、能量稳定的全离散有限元格式。

核心创新点体现于：

物理场解耦特性：该格式实现了流场与磁化场的解耦计算；

无条件稳定性：在光滑初值假设下，格式具有与时间步长无关的无条件能量稳定性；

最优收敛性：数值解以最优收敛速率逼近真解。

理论证明框架包括：

稳定性分析：通过特定离散化技术，构建的数值格式满足无条件稳定性条件，保证了数值解在长时间模拟中的稳定性，计算结果不会出现数值发散现象和关键物理特征失真；

数值解的存在唯一性：基于 Leray-Schauder 不动点定理证明严格建立；

无条件收敛性：借助 Aubin-Lions-Simon 引理证明了数值格式的无条件收敛性。

数值模拟：

鉴于铁磁流体的物理特性可通过外部施加磁场主动调控，且磁场分布影响铁磁流体的动力学行为，本实验重点探究在外部磁场作用下铁磁流体的流动响应特性，如图1所示。

图1 流动响应特性模拟：流场速度（左）和磁化场强度（右）。

在磁铁平移过程中观察到：流体涡旋结构的空间位置始终与磁场强度最大的区域重合，该现象与文献中的磁-涡耦合机制一致，进一步验证了本研究所构建数值算法的有效性和准确性。

另一实验模拟在行波磁场下的铁磁流体泵送过程。所施加的外部磁场的强度在空间中变化，是一个周期性的脉冲序列，这些脉冲沿我们希望诱导线性动量的方向传播，这种外部磁场可驱动铁磁流体在管道中流动，如图2所示。

图2 铁磁流体泵送模拟：流场速度（左上），流场截面轮廓（右上），磁化场强度（左下），磁化场截面轮廓（右下）。

在铁磁流体泵送过程中观察到：在外部磁场影响下，铁磁流体能够较为平滑地流向管道出口，速度场在管道中分布十分均匀；磁化的强度在管道壁附近时显著，在通道中心区域则可忽略不计。这意味着大部分作用力集中在上下壁附近区域，越靠近外部磁场，发生磁化越强烈。

总而言之，本文为Rosensweig 模型设计了一阶线性、能量稳定的全离散有限元格式，实现流场与磁化场解耦计算，具有无条件稳定性和最优收敛性，数值实验成功模拟了铁磁流体的行为特征。

我们非常荣幸能在《中国科学：数学（英文版）》上发表本研究成果，祝愿《中国科学：数学》发展越来越好！

作者简介

董晓靖

湘潭大学数学与计算科学学院教授。主要从事磁流体力学和铁磁流体力学的有限元方法与模拟、流体力学计算等方面的研究。

黄华毅

北京应用物理与计算数学研究所博士后，研究方向为磁流体力学和铁磁流体力学的有限元算法。

黄云清

湘潭大学数学与计算科学学院教授，湖南国家应用数学中心主任。主要研究方向为科学机器学习、科学工程计算、数值软件开发等。

唐启立

湘潭大学数学与计算科学学院教授。主要从事偏微分方程数值解、有限元高精度分析等方面的研究。