统计挖掘的情与事（三）——超详尽回归分析理论指南

作者简介

浩彬老撕，R语言中文社区特邀作者。

个人公众号：探数寻理

一、理论部分

简单地说，一元线性回归和多元线性回归都属于简单线性回归范畴，最直接的差异在于一元线性回归的自变量只有一个，而多元线性回归的自变量存在多个。

尽管主要的解决思路一致，大家可以把一元线性回归看作多元线性回归的特例，但在解决多元的问题上，咱们还是有比较多的问题需要注意。

回到咱们的回归方程，针对于此问题，我们需要关注的重点有3个：

（1）参数估计；（2）假设检验与评价；（3）变量选择

为了便于讨论，我们把上式改写成向量形式：

其中我们的数据集D中一共有n个样本，每个样本均可以由m个属性进行描述：

数据集D表示成矩阵X，第一列置为1，表示回归方程中的常数项

问题1：参数估计

针对于该方程中的未知参数，我们同样可以利用最小二乘法进行估计，损失函数方程有：

问题2：假设检验与评价

（1）F检验

与一元回归分析不一样，我们现在存在多个自变量。为了衡量整体方程的有效性，我们需要研究整体变量X是否有对y产生影响，也即意味着，我们需要验证的命题是：

也即对应的原假设：

为了验证该命题，我们可以借助F检验。

F检验是根据平方和分解式，从回归模型效果的角度进行验证。

平方和分解式有：

其中各项定义有：

通过以上的平方和分解式，我们成功把因变量的波动情况（SST）成功分解为两部分：（1）能够通过自变量x解释的部分（SSR）；（2）不能由自变量x解释的部分（SSE）；

因此构造F统计量如下：

在正态假设的前提下，当原假设成立时，上述的F统计量将服从自由度为（m,n-m-1）的F分布，当F大于临界值时，我们可以拒绝原假设，即认为在显著水平a下，回归方程的整体自变量x与因变量y有显著的线性关系。

（2）t检验

正如在F检验中介绍的，通过原假设，F检验只能说明整体变量X与Y之间有关系，但是并不能说明某个自变量x是否与因变量y有关系，因此我们仍然需要t检验来判断每个自变量的显著性

由一元线性回归的t检验进行推广：假若我们需要检验某个变量xi是否显著（即对应的回归系数bi是否不为0），则可以生成原假设：

（3）偏F检验

事实上，即使是一元回归分析，我们也是可以使用F检验来判断回归方程的显著性，只是在一元回归分析中的t检验与F检验是完全等价的，而在多元回归分析中，则没有那么直接。

但是这是否意味着在多元回归分析中，t检验和F检验则是完全没有关系呢？答案显示是否定的。接下来，我们尝试从另一个视角，从总平方和分解的角度来考察自变量的显著性。

对于平方和分解公式，我们用回归平方和（SSR）反映自变量X对因变量Y的解释能力，那么假如我们要衡量某个特定的自变量x（j）的解释能力可以怎们做？

记对所有自变量得到回归平方和为SSR，剔除掉x（j）后，其他自变量得到回归方程的回归平方和为SSR（-j），显而易见地，变量x（j）对回归方程的贡献为：SSR（j）=SSR-SSR（-j），同样地，我们可以构造偏F统计量

（4）决定系数

让咱们再次回到平方和的分解公式：

如我们在F检验中所讨论的，在整个分解式中，回归平方和（SSR）反映的是能够通过自变量x解释的部分，因此非常直观地，我们可以认定回归平方和所占的比重越大，则残差平方和越小，就越能证明回归的效果越好。

因此，我们不妨就把回归平方（SSR）和与总平方和（SST）的比值定义为决定系数，一般记作R方。

但值得注意的是，R方虽然经常被用作与评估线性回归模型的拟合好坏，但是却也存在着明显的不足：例如自变量越多，R方总是不减（事实上，随着自变量数目的增加，R方一般都是会增加）的，而不管这个自变量本身是否真的有效。

证明：

正如上述所证明的，随着自变量个数的增加，决定系数也随之增大，当自变量足够多的情况下，决定系数将表现得足够的“好”。极端情况下，当需要估计参数的数量与样本数量一致时，决定系数将能够达到1.

实际上，这种“好”是通过增加模型复杂度（也意味着牺牲了了残差自由度）所得到的，而随着模型复杂度越高，我们模型过拟合的情况可能就越严重，泛化能力就越差。关于模型过拟合的问题，浩彬老撕会在后面单独写一篇文章详细介绍。

因此为了避免这种无用的假象，我们需要在决定系数公式当中引入惩罚项，对于这个增加惩罚项的决定系数，我们一般称之为调整决定系数：

从公式可以看到，调整的R^2可以是一个负数，它总是小于/等于R方。另外不同于原有的R方，它只有在引入真正有助于分析的变量时，它才会得到增加。

问题（3）变量选择

正如我们所了解到的，并不是所有输入到模型的自变量x都能对因变量y产生显著作用，这就引出了咱们关于多元回归分析的第三个问题，怎么选择变量构建合适的方程。

一个显而易见的方法是，根据所有候选变量所形成的子集，求出所有可能的方程，再根据本文前面所提供的模型选择标准，例如调整r方，选择最优模型。

但该方法一个最大的问题是，对于存在m个变量的场景，我们需要构建(2^m)-1个方程组，显然，当自变量个数m十分大的时候，这是十分困难的。

因此人们为了能够更加简便快速的选择方程，提出了“前进法”，“后退法”以及“逐步回归法”。

实际上，上述的各种方法的核心在于借助于检验标准，控制自变量的进出，而这里的标准，实际上就是咱们在前面介绍的偏F检验。

（1）前进法：

前进法是一个变量由少到多的过程，它根据变量准入标准，每一步引入一个当前最重要的自变量，直至引入所有合乎标准的变量为止。具体做法如下：

（2）后退法

后退法与前进法的思想相反，它是一个变量由多到少的过程，后退法首先利用全部m个自变量建立全模型回归方程，再利用检验标准逐个剔除最不重要的变量，具体做法如下：

（3）逐步回归法

前进法和后退法都存在一个明显的不足，那就是变量的引入后无法再剔除（前进法）/变量被剔除后（无法再被引入），即所谓的“终身制”。

实际上，假定我们的的自变量间完全独立的话，上述前进法和后退法的“终身制”都是没有问题的，但在实际应用当中，我们的自变量往往存在着一定的相关关系，那么这就会带来问题了。

例如在前进法中，某个变量可能一开始是因为通过显著性检验而进入了方程，但在我们引入其他自变量后，这个变量可能就会显得不显著，但是这时候我们却没有办法将它重新剔除出模型了。

为了能够吸收前进法以及后退法的优点，因此提出了逐步回归法。逐步回归法的具体思想，实际上是在前进法的基础上，每当回归方程引入新的自变量后，都对方程中现有的变量重新检验，当发现有自变量不显著的情况下，则会将其重新剔除，具体做法如下：

感谢“R语言中文社区”提供转载

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